Matrices orthogonales

[math123]

Bonjour,

Voila on considère O(B)={M GLn(R)|

et je dois montrer que

Un indice ?

Merci
-----

[Seirios]

Bonjour,

Tu n'aurais pas une condition sur la matrice ? Généralement, on utilise la notation lorsque est une matrice symétrique non dégénérée. Dans ce cas, définit un produit scalaire , et pour tous tu as ; tu peux alors en déduire que .

EDIT: D'ailleurs, si , la propriété est clairement fausse.

[math123]

Ben en fait à la base B est une matrice quelconque de Mn(R) et je dois déterminer les B tel que O(B)=GLn(R)

[Seirios]

Tu devrais regarder l'égalité lorsque est une homothétie, ie. pour un certain . Que peux-tu dire alors de ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[math123]

Merci,

Je me retrouve donc avec soit + ou - 1 mais ça ne me dit rien sur B ?

[math123]

Ok c'est bon B est la matrice nulle alors ? il n'y a donc qu'une seule matrice vérifiant l'égalité précédente ?

[Seirios]

C'est bien ça.

[math123]

Merci j'ai une dernière question : Si le sous-groupe O(B) est-il compact ? Alors je peux déjà dire que comme on est en dimension finie compact=fermé bornée il est facile de voir que O(B) est fermé par contre pour montré qu'il est borné je pense prendre comme norme le sup des mais je n'arrive pas à continuer une piste ?

[Seirios]

Il est facile de voir que appartient à pour tout .Bien sûr, lorsque , la norme de cette matrice diverge vers l'infini.

[math123]

Ah oui effectivement merci l'ultime question de ce problème est de montrer que O(B) est homéomorphe à Vous en déduirez le nombre de composante connexe. (Indication: vous pourrait utiliser les matrices par blocs)

Pour cela, je pense construire une application qui à M dans O(B) associe ( ? , det(M), ? ) après je vois pas trop quoi mettre, une piste

Encore merci !

[Seirios]

Tu peux écrire une matrice sous la forme , où ; à quelle condition ?

En principe, tu dois trouver que les matrices de sont exactement celles qui s'écrivent sous la forme , où , est un vecteur colonne et . Ton homéomorphisme est alors évident.

[math123]

Re,

Merci de ta réponse, par contre j'ai beau essayé de chercher ces conditions je ne vois pas trop comment m'y prendre... faut-il poser et ensuite calculer transpose(M)*A*M=A puis d'obtenir des conditions pour obtenir la matrice dont tu as parlé où bien il y a une autre méthode ?

De plus, comment trouve t-on naturellement cette matrice M ?

Encore merci de tes réponses

[Seirios]

Merci de ta réponse, par contre j'ai beau essayé de chercher ces conditions je ne vois pas trop comment m'y prendre... faut-il poser et ensuite calculer transpose(M)*A*M=A puis d'obtenir des conditions pour obtenir la matrice dont tu as parlé où bien il y a une autre méthode ?

Tout ce que tu as à faire, c'est appliquer la définition de O(B).

De plus, comment trouve t-on naturellement cette matrice M ?

Par analogie au cas où B=Id sur les deux premières coordonnées; il est alors naturel de penser aux matrices par bloc.

[math123]

Re,

Merci de ta réponse, alors si on a alors:



Or si donc c=0 et d=0

La matrice M cherchée devient donc où car sinon M n'est plus inversible où N est une matrice orthogonale car

Ceci est correct ?

Merci encore

[Seirios]

Une autre possibilité est de remarquer que le bloc 2x2 en haut à gauche correspond au produit , donc tu as la condition .

[math123]

Merci de ta réponse , par contre je ne trouve pas totalement la même matrice que toi on n'as pas les mêmes coefficients ? me suis-je trompé ?

Ensuite pour l'homéomorphisme c'est : M -> (u,v, N) en reprenant les notations précédentes ?

Merci encore

[Seirios]

J'ai probablement regardé au lieu de ; du coup, je trouve la transposée de ta solution. Tu peux comparer les deux résultats sur quelques exemples simples.

Pour l'homéomorphisme, regarde si ta fonction fonctionne !

[math123]

Re,

alors pour l’homéomorphisme, il est clairement surjectif et injectif. Pour la continuité, on peut voir ça comme des projections qui sont évidemment continue. Pour la bijection réciproque c'est (u,v,N)->M qui est surjective, injective et continue.

On a donc un homéomorphisme. C'est bien ça ?

Ensuite pour le nombre de composante connexe grâce à l'homéomorphisme il est égale au nombre de composante connexe de

a une composante connexe.
a deux composantes connexes.
O(2) a deux composantes connexes.

Du coup, comment en déduire le nombre de composantes connexes de ?

Merci

[Seirios]

alors pour l’homéomorphisme, il est clairement surjectif et injectif. Pour la continuité, on peut voir ça comme des projections qui sont évidemment continue. Pour la bijection réciproque c'est (u,v,N)->M qui est surjective, injective et continue.

Déjà, tu n'as pas besoin de préciser que la réciproque est surjective et injective, puisque tu as pris la réciproque d'une bijection... Ensuite, tu n'as pas justifié pourquoi était continue.

a une composante connexe.
a deux composantes connexes.
O(2) a deux composantes connexes.

Du coup, comment en déduire le nombre de composantes connexes de ?

Si sont deux espaces topologiques avec respectivement composantes connexes, combien a-t-il de composantes connexes ? Tu peux commencer par regarder quelques exemples simples.

[math123]

Re,

Pour répondre à la question sur le composantes connexes je dirais m*n (le produit)

Ensuite pour la continuité de (u,v,N)->M je ne vois pas quelle norme poser sur (u,v,N) ?

Merci

[Seirios]

Pour répondre à la question sur le composantes connexes je dirais m*n (le produit)

Et tu as une preuve ?

Ensuite pour la continuité de (u,v,N)->M je ne vois pas quelle norme poser sur (u,v,N) ?

Tu peux voir comme un sous-ensemble de .

Plus généralement, si tu as deux espaces vectoriels normés et , une norme sur peut être .

[math123]

Re,

Pour la continuité vu comme cela, alors c'est facile en prenant comme norme sur les matrices le sup des ,

ensuite pour la connexité, je n'ai pas de preuve à proprement parler mais si on prend par exemple je dirai qu'il y a deux composantes connexes.

En fait, il y a les couples (a,b) où a est réel et b > 0 et (c,d) où c est réel et d<0 grosso modo je pense que c'est ça. Pour une preuve plus formelle, je pense que c'est la même idée que j'ai exposé avec mon exemple en prenant A et B espaces topologiques.

Cordialement

[Seirios]

Tu peux donc écrire les composantes connexes de en fonction de celles de . Vois-tu comment généraliser cette expression à un produit quelconque ?

[math123]

Oui mais ici on utilise en particulier que R est connexe donc qu'il n'a qu'une seule composante connexe. Si jamais j'avais eu je dirais qu'il y a 4 composantes connexes. Pour les éléments présents dans ces composantes connexes serait (a,b) où a>0 b>0, (c,d) où c>0 d<0, (e,f) où e<0 f>0 (g,h) où g<0 et h<0 donc il y a 4 composantes connexes non ?

[Seirios]

Oui, et ici tu as pu décrire les composantes connexes de en fonction de celles des facteurs du produit. Tu devrais pouvoir généraliser l'argument.