Suites exactes ...

[FredericMars]

Hello le beau monde !

Me voilà déjà avec un autre problème ... Sur les suites exactes ! Euh c'est en pièce jointe car pour le coup, ça se compliquait drôlement avec le LateX comme par ex écrire au-dessus des flèches ...

Déjà le premier probl, c'est que j'ai pas vu ça en cours théorique (et c'est pas non plus en info supplémentaire dans le sylabus)
Mais on nous donne quand même un exo là-dessus pour nous faire visiter toujours plus de math ça me déplait pas mais là, je bloque comme je sais pas quoi, sauf pour la question 5), héhéhé avec l'indice donné, j'ai trouvé facilement : la réponse est le théorème connu sous le nom de théorème de rang généralisé et ça répond bien à la question --> donc, cool pour cette question mais pour les autres ??? J'en sais trop rien. Je suis pas en terrain connu.

Pour la 1), je me disais que ça devait pas être compliqué compliqué et qu'il fallait pas se casser la tête dessus : moi je propose donc la suite , ( où n appartenant aux naturels) pour la suite exacte en B. Par contre, je sais pas trop comment écrire ça, je veux dire : est-ce que je peux écrire ? ou mon écriture est nulle ?

Pour les questions 2), 3) et 4) ben je sais vraiment pas ... Même pour la question 3), ça a l'air tout *** comme ça mais au fond, faut justifier, et c'est plus compliqué que ça en a l'air ...

Pour le 5), comme dit plus haut, c'est OK

Alors j'en demande à votre aide Vous aidez bien et ça marche mieux pour moi, je comprends mieux (et probablement que ça aide d'autres personnes qui ont besoin du même style d'exos que moi surtout en cette période d'exams intense ...).

Merci !
-----

[toothpick-charlie]

pour 1) l'exemple classique de suite exacte en B est le cas où A est un sous-espace vectoriel de B, phi l'injection canonique, C=B/A et theta la surjection canonique. Déjà si tu comprends bien cet exemple tu auras un bon point de départ.

[FredericMars]

pour 1) l'exemple classique de suite exacte en B est le cas où A est un sous-espace vectoriel de B, phi l'injection canonique, C=B/A et theta la surjection canonique. Déjà si tu comprends bien cet exemple tu auras un bon point de départ.

Merci pour ton aide !
Mais j'ai quand même un problème avec ta proposition de solution pour la 1) :
et bien, je ne vois pas en quoi c'est une suite en fait ... Sinon en effet, y a pas de problème quand au fait qu'on a bien
Im . Je pense qu'il faut quand même poser que B est égal à une suite ? Qu'en pensez-vous ?
Si oui, je continue de proposer où n appartient aux naturels. Je peux ? Ou c'est mauvais ?

[Tryss]

Merci pour ton aide !
Mais j'ai quand même un problème avec ta proposition de solution pour la 1) :
et bien, je ne vois pas en quoi c'est une suite en fait ... Sinon en effet, y a pas de problème quand au fait qu'on a bien
Im . Je pense qu'il faut quand même poser que B est égal à une suite ? Qu'en pensez-vous ?
Si oui, je continue de proposer où n appartient aux naturels. Je peux ? Ou c'est mauvais ?

Ca n'est pas une suite exacte... une suite exacte n'est pas une suite au sens habituel du terme.

Une suite exacte en B c'est juste deux applications linéaires, une qui va dans B et l'autre qui pars de B

Par exemple, si A=B=C=R², phi(x,y) = (0,x+y) et psi(x,y) = (x,2x), alors on a bien une suite exacte en B.

[A voir en vidéo sur Futura]

[FredericMars]

Ca n'est pas une suite exacte... une suite exacte n'est pas une suite au sens habituel du terme.

Une suite exacte en B c'est juste deux applications linéaires, une qui va dans B et l'autre qui pars de B

Par exemple, si A=B=C=R², phi(x,y) = (0,x+y) et psi(x,y) = (x,2x), alors on a bien une suite exacte en B.

Merci ! je commence à mieux comprendre d'où venait ma confusion alors ... Mais pas très logique d'appeler "suite exacte" quelque chose qui n'est pas vraiment une suite ...
Sinon, j'aime bien ton exemple (parce que je le comprends ).
Mais quelque chose m'échappe, car justement pour ton exemple je dois vérifier Im puisque ça doit être exacte en B mais moi, je trouve pas vraiment ça avec ton exemple. Je m'explique :


pour tout x et y appartenant à R.



d'où je n'ai pas pour cet exemple que . Je me trompe ?

[FredericMars]

Pour reprendre l'idée de Tryss mais avec un exemple qui vérifie bien , je vais en mettre plein les yeux avec mon exemple supra sophistiqué :

(où R = les réels) et je prends et quelque soit x appartennt à R.
C'est correct comme ça ? j'ai bien ma suite exacte en B, non ?

Est-ce qu'on peut m'aider pour les questions 2,3 et 4, s'il vous plaît ?

[Médiat]

Bonjour,

Je me trompe ?

Oui !

pour tout x et y appartenant à R.

pour tout x et y appartenant à R

Je n'ai pas reproduit les démonstrations, mais elles sont assez simples (il suffit d'écrire les définitions des applications)

[gg0]

Bonjour.

Mais pas très logique d'appeler "suite exacte" quelque chose qui n'est pas vraiment une suite

1) les dénominations n'ont rien à voir avec la logique, beaucoup plus avec les idées qui servent à comprendre ce qu'on fait.
2) Dans une suite exacte, il y a :
* un certain nombre d'espaces vectoriels (dans ton cas) écrits les uns à la suite des autres.
* des applications linéaires écrites les unes à la suite des autres.

Tu te laisses abuser par une lecture trop mot à mot, comme si un mot avait une seule signification (Le mot "suite" désigne aussi un appartement dans un hôtel de luxe, ou un ensemble de gens qui accompagnent une personnalité, ou des démarches judiciaires, ou ...). A partir du moment où on définit une "suite exacte" (*), c'est un nouveau nom dont il faut voir ce qu'il signifie.

Cordialement.

(*) Ce n'est pas le mot "exacte" qui est défini. On ne dit pas "on dit qu'une suite est exacte si ...".

[FredericMars]

pour tout x et y appartenant à R.

pour tout x et y appartenant à R

Merci Mediat ! En fait, quand j'ai vu le de Tryss, et bien, je ne sais pas pourquoi mais je voyais au lieu de (à mon avis, j'ai voulu répondre trop tard dans la soirée ou trop tôt ce jour matin ... Je suis distrait, sorry).
Je comprends que du coup. Mais c'est vrai que si on ne me l'avait pas fait remarqué, je serai sans doute passé bêtement à côté
Ce que je veux demandé, c'est est-ce qu'on pouvait écrire mais que comme ce z c'est n'importe quel réel, on peut poser en quelque sorte (y appartenant à R) de sorte à bien montrer qu'on a ? C'est pour être sûr.
Parce que là en période d'exams, je suis plus sûr de rien ...

Et pour les questions 2,3 et 4, une idée ?

[Médiat]

(y appartenant à R)

Quand vous écrivez , y est une variable muette, vous pourriez l'appeler Marcel que cela ne changerait pas

[FredericMars]

Quand vous écrivez , y est une variable muette, vous pourriez l'appeler Marcel que cela ne changerait pas

Héhé on n'est jamais trop sûr de soi ! Merci pour avoir pris la peine de répondre à ma question qui était un peu "bê-bête" mais comme dit plus, je voulais être sûr.

Je me lance pour la question 2) (mais attention, âmes sensibles, s'abstenir --> je trouve en effet à l'avance ma réponse assez simplette mais comme personne n'a encore donné d'indications qui pourraient m'éclairer quand à cette question, ben je me lance quand même).
Alors moi, je dirai pour la 2), mais c'est assez simplet, que bref, qu'il s'agit de la fonction nulle.
Qu'est ce que je pourrais en déduire d'autre ?

[gg0]

Bonsoir.

Ne reprends pas les notations de la question 1, qui était un exemple. Dans la question 2, il n'y a pas de x et de y, ni de couples, plus exactement, on ne sait rien de la façon dont s'écrivent les éléments des espaces vectoriels en cause.
Autre chose, est une application linéaire dont est l'ensemble de départ, tu as inversé!
Donc tu as : où la première flèche correspond à et la deuxième à .
Compte tenu de ce qui est dit, tu as exactement :

Maintenant, il ne te reste plus qu'à appliquer la définition. Tu as déjà vu que l'image de est réduite à 0, mais tu n'as pas utilisé le fait que la suite est exacte.

Cordialement.

[FredericMars]

est une application linéaire dont est l'ensemble de départ, tu as inversé!
Donc tu as : où la première flèche correspond à et la deuxième à .
Compte tenu de ce qui est dit, tu as exactement :

Maintenant, il ne te reste plus qu'à appliquer la définition. Tu as déjà vu que l'image de est réduite à 0, mais tu n'as pas utilisé le fait que la suite est exacte.

Un grand merci, gg0 ! Oui, c'est super clair écrit comme ça

Et donc, si je te suis bien je dois trouver tel que en sachant que est l'application qui envoie tout sur 0.
J'en déduis que obligatoirement.
Je pense qu'on ne sait pas en déduire plus que ça et que c'est bien ça en effet qu'on demandait pour la question 2).

[FredericMars]

Pour la question 3), il doit bien y avoir une subtilité sinon on poserait pas cette question mais je la trouve vraiment étrange comme question car je ne suis pas fou quand même ? , non ?

j'ai du mal à percevoir la difficulté de la question 3) et bizzarrement je sais pas y répondre

[taladris]

Merci ! je commence à mieux comprendre d'où venait ma confusion alors ... Mais pas très logique d'appeler "suite exacte" quelque chose qui n'est pas vraiment une suite ...

En fait, si, une suite exacte est une suite! Une suite d'espaces vectoriels (ou de groupes, d'anneaux, de modules,...) et de fonctions qui les relient entre eux. En theorie (en algebre homologique ou en cohomologie par exemple), on etudie des suites infinies. Ici, comme dans beaucoup d'exemples concrets, la suite est finie (tu peux la completer en une suite infinie en rajoutant a droite l'espace , avec l'application nulle pour les relier).

Tu auras peut-etre meme l'occasion de rencontrer des suites doubles (avec deux indices et des applications et ), et memes des suites spectrales, qui sont des suites de suites doubles!

A partir du moment où on définit une "suite exacte" (*), c'est un nouveau nom dont il faut voir ce qu'il signifie.

(*) Ce n'est pas le mot "exacte" qui est défini. On ne dit pas "on dit qu'une suite est exacte si ...".

En fait, on peut tres bien le faire. C'est tout le but de la cohomologie de mesurer a quel point une suite n'est pas exacte.


Pour le reste, les differents intervenants ont donnes d'excellentes reponses.

Cordialement,

[gg0]

Tu as raison, Taladris,

d'ailleurs j'ai employé exacte comme adjectif dans mon fil précédent. Mais dans l'apprentissage de la notion, ce n'est pas le mot suite qui est important, c'est l'assemblage "suite exacte", qui, une fois bien compris, donne un sens nouveau (pour ceux qui connaissent peu l'algèbre) au mot suite.

Cordialement.

[gg0]

Pour la question 3), il doit bien y avoir une subtilité sinon on poserait pas cette question mais je la trouve vraiment étrange comme question car je ne suis pas fou quand même ? , non ?

Non.

Ta réaction montre que tu n'as pas vraiment compris ce qu'est . Donc une révision à faire. Mais en tout cas, si tu examines les ensembles de départ et d'arrivée, tu verras tout de suite que ça ne peut pas être .

Cordialement.

[FredericMars]

Non.

Ta réaction montre que tu n'as pas vraiment compris ce qu'est . Donc une révision à faire. Mais en tout cas, si tu examines les ensembles de départ et d'arrivée, tu verras tout de suite que ça ne peut pas être .

Cordialement.

Oups, sorry ...

Je vais revoir cette partie-là en particulier alors avant de répondre. Sinon je risque d'écrire une autre grossièreté ...

Donc, je revois puis je vais essayer d'écrire quelque chose de plus correct (mais ce sera pour mardi soir car j'ai un gros exam de physique ... et je dois réviser réviser ...) Mais je reviendrai pour sûr !

Merci et à bientôt donc

[gg0]

Bonne chance pour la physique et à bientôt !

[FredericMars]

Bonne chance pour la physique et à bientôt !

Merci ... malheureusement, c'est justement cet examen-là que je n'ai pas réussi (je préfère dire pas réussi que raté, c'est psychologique). Pour l'instant, y en a 2 que j'ai réussis et 1 non Il m'en reste 4 à passer. C'est toujours difficile de s'y remettre dans ce contexte, et c'est pour ça que j'ai un peu tardé à répondre, mais bon, ça fait quand même du bien de se sentir soutenu (même virtuellement ) et pas démuni de toute aide, d'autant plus quand on revient d'un échec. Enfin, heureusement qu'il y a la session d'août quand même. C'est je crois, le seul inconvénient que j'ai rencontré depuis que je me suis inscrit en physique : plus de vacances, pas même celles d'été, et à la place la peur au ventre , mais le reste de l'année, on se sent mieux et on est content d'être en physique.
Enfin, vous savez ce qu'on dit en math et en physique : un de raté et dix de réussis ... Ah si seulement c'était vrai et aussi simple.

Allez, je cesse de gindre et je me relance dans les exos !

Alors pour le 3), je ne sais toujours pas trop comment m'y prendre sauf pour le début. je crois (?) qu'il faut commencer par supposer que la suite avec des "id" est exacte. Autrement dit, supposons qu'on ait :

Ensuite, il faudrait montrer que l'équation ci-dessus n'implique pas (puisque je crois que la réciproque est fausse sinon on en poserait pas la question mais ça, je ne pourrai pas écrire ce genre d'argument dans l'exam) que :


Mais là je bloque. J'ai revu le produit tensoriel parce que j'avais écrit une ânerie dans mon ancien message à ce propos mais même si on s'amuse à réécrire sous forme de matrice, ou contracter ce produit tensoriel (alors que je ne connais même pas l'ordre de ces tenseurs), et bien, je ne vois pas où cela me mènerait et à quoi ça servirait ?


Et pour le 4), j'ai bien vu la chose suivante :
dans la suite, 0 dénote le groupe trivial, qui est l'objet nul dans la catégorie des groupes.
La suite est exacte si et seulement si est injective.
La suite est exacte si et seulement si est surjective.
La suite est exacte si et seulement si est un isomorphisme.
Enfin, je crois ...
Dès lors, ne puis-je pas reprendre l'exemple donné pour le 1) ?
Par contre, vous n'auriez pas un indice pour le couple ( qui serait unique à isomorphisme près ? Parce que je vois vraiment pas.

Merci d'avance

[gg0]

Bonjour.

Alors pour le 3), je ne sais toujours pas trop comment m'y prendre sauf pour le début. je crois (?) qu'il faut commencer par supposer que la suite avec des "id" est exacte.

C'est vrai que supposer vraie la conclusion rend plus facile de montrer qu'elle est vraie

Bon ! Sois sérieux. Tu veux démontrer que cette suite est exacte, alors tu utilises les hypothèses et les définitions et théorèmes pour obtenir, par application stricte des règles aux hypothèses et à leurs conséquences la conclusion à prouver.
Une fois cela fait, tu pourras examiner la réciproque, où le problème éventuel me semble que tu peux choisir les applications linéaires pour que ça coince, éventuellement( alors que dans la preuve directe, elles sont données).

Pour le produit (tensoriel ?) je ne peux t'aider, je ne sais pas ce que c'est. Je n'ai pas étudié ça à l'époque de mes études.

Pour la question 4, tu as déjà tout. Il ne te reste qu'à rédiger correctement. Il y a une application très évidente, avec un C sev de B très évident, et bien entendu, si tu introduis un isomorphisme pour passer de C à un autre ev, ça ne va rien changer (mais tu rédigeras la preuve, bien entendu) en le composant avec .
Tu as raison on est assez proche du premier exemple, mais n'est pas l'injection canonique, ne serait-ce que parce que B n'a aucune raison d'être un sev de A.

Bon travail !