Produit continu, intégrale multiplicative ?

[God's Breath]

Après calcul, on trouve la formule générale :

?_(0,a)(e^ibt)^dt = exp(½iba²)

Donc ce qui est prétendu "visiblement faux" est parfaitement juste.

Un autre exemple :





Comment expliquer ce résultat sachant que

A comparer, bien évidemment, au résultat :


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[breukin]

De retour de we.

La deuxième formule est fondamentalement fausse.
(Les deux formules sont fausses au facteur i près)

Pour calculer ces "multiplicales" sans erreur, il faut revenir au fondamental :

П_(a,b)f(t)^dt = lim П_k=1,n f(t_k)^Δt
Avec t_k = a+(b–a)k/n et Δt = (b–a)/n

C'est en procédant ainsi qu'on comprend la raison profonde du paradoxe selon lequel deux multiplicales d'une fonction périodique sur des intervalles séparés d'une période ne sont pas égales, contrairement à ce que l'intuition naïve laisserait penser.

[God's Breath]

De retour de we.

La deuxième formule est fondamentalement fausse.
(Les deux formules sont fausses au facteur i près)

Pour calculer ces "multiplicales" sans erreur, il faut revenir au fondamental :

П_(a,b)f(t)^dt = lim П_k=1,n f(t_k)^Δt
Avec t_k = a+(b–a)k/n et Δt = (b–a)/n

C'est en procédant ainsi qu'on comprend la raison profonde du paradoxe selon lequel deux multiplicales d'une fonction périodique sur des intervalles séparés d'une période ne sont pas égales, contrairement à ce que l'intuition naïve laisserait penser.

Je reprends donc le calcul pour f(t) =e^it sur [0,2π] : П_(0,2π)f(t)^dt = lim П_k=1,nf(t_k)^Δt, avec t_k = 0+(2π–0)k/n = 2πk/n et Δt = (2π–0)/n = 2π/n.

Puis pour g(t) =e^(it+2π) sur [0,2π] : П_(0,2π)g(t)^dt = lim П_k=1,n g(t_k)^Δt, avec t_k = 0+(2π–0)k/n = 2πk/n et Δt = 2π/n
On a les même valeurs de t_k et de Δt ; comme g(t_k) = f(t_k), on doit avoir П_(0,2π) f(t)^dt = П_(0,2π) g(t)^dt

Pour f(t) =e^it sur [2π,4π] : П_(2π,4π)f(t)^dt = lim П_k=1,n f(t'_k)^Δt', avec t'_k = 2π+(4π–2π)k/n = 2π+2πk/n et Δt' = (4π–2π)/n = 2π/n.
Comme Δt' = Δt et f(t'_k) = f(t_k), on doit avoir П_(0,2π) f(t)^dt = П_(2π,4π) f(t)^dt

Alors que la soi-disant formule П(a,b)(e^it)^dt = exp(½i(b²–a²)) fournit les valeurs différentes :
П(0,2π)(e^it)^dt = exp(2iπ²) et П(2π,4π)(e^it)^dt = exp(6iπ²).

Avant de monter une théorie farfelue, on aimerait voir comment fonctionnent les définitions sur des exemples simples, et une démonstration détaillée et correcte des résultats annoncés, en particulier de la multiplicativité et du passage à l'inverse.

[breukin]

Dès lors qu'on est dans les complexes et qu'on élève à une puissance qui n'est pas entière, il faut être extrêmement prudent.
Exemple typique : celui de l'intégrale dans le plan complexe où le contour passe de l'infini positif puis approche de 0 pour le contourner dans le sens direct pour enfin revenir vers l'infini positif. Les deux intégrales, la première de l'infini à epsilon, la seconde de epsilon à l'infini, ne sont pas opposées, alors que la fontion prend naïvement les mêmes valeurs.
C'est un type d'erreur analogue que vous avez commise.

La notation que j'ai proposée f^dt(t) est symbolique.
Dond il est indispensable de lire (e^it)^Δt comme voulant dire e^itΔt qui n'a pas pour période 2π.

En voulant que (e^it)^½ soit de période 2π sous prétexte que e^it l'est, vous introduisez des ruptures de continuité en changeant de branche de la racine. Car sa vraie période est 4π.

Donc la 5^ème ligne de votre message est fausse.

Π_(2π,4π) = lim Π_k=1,nf(t'_k)^Δt' avec t'_k=2π+2πk/n et Δt'=2π/n

f(t'_k)^Δt' = exp(i4π²/n+i4π²k/n²)
et le produit des n termes donne : exp(i4π²+i4π²n(n+1)/2n²)
soit en passant à la limite exp(i6π²)

Je reviens sur le caractère symbolique de la notation. La personne qui a initié cette discussion se demandait si on pouvait donner un sens à un produit continu. Et on est arrivé à la conclusion que le logarithme de ce produit continu devait être l'intégrale du logarithme de la fonction.
Pour que le concept ait un sens, il faut, et vous l'avez signalé, bien choisir la branche du logarithme à considérer en chaque point de l'intervalle. Et la manière de bien choisir, c'est qu'on ait une continuité et pas de rupture.
Or le logarithme de e^it qui a des propriétés de continuité, c'est it, qui n'a pas vraiment pour période 2π.

[breukin]

Je me suis trouvé un argument négatif plus sérieux : quelle branche du logarithme choisir ?
Car П_(0,x)(e^it)^dt = exp{∫_(0,x)(it+2ikπ)dt} = exp{ix²/2+2ikπx}
Mais quelle branche, c'est-à-dire quelle valeur de k, choisir ?
Le fait que pour x=0, la multiplicale doit être égale à 1 (par analogie avec un produit discret sur l'ensemble vide), ne permet pas de choisir.
J'avais choisi 0, mais comment le justifier ?

[Burakumin]

Je me suis trouvé un argument négatif plus sérieux : quelle branche du logarithme choisir ?
Car П_(0,x)(e^it)^dt = exp{∫_(0,x)(it+2ikπ)dt} = exp{ix²/2+2ikπx}
Mais quelle branche, c'est-à-dire quelle valeur de k, choisir ?
Le fait que pour x=0, la multiplicale doit être égale à 1 (par analogie avec un produit discret sur l'ensemble vide), ne permet pas de choisir.
J'avais choisi 0, mais comment le justifier ?

A mon avis, cela n'a pas de sens de se demander quelle valeur choisir a posteriori.

Tout comme lorsqu'on parle de logarithme complexe on fait un choix a priori (la fameuse détermination du logarithme), l'opérateur qu'on veut définir ici nécessitera un choix similaire. Il y aura donc plusieurs opérateurs et il faudra savoir duquel on parle = savoir de quelle détermination on parle.

Suivant la détermination choisie, pour une fonction donnée, le résultat ne sera pas le même et peut être même indéfini pour certaines déterminations.

Aprés ça il est bien probable que pour une détermination donnée les propriétés interessantes ne soit souvent valables que pour les fonctions qui ne coupe pas "l'axe d'indétermination" mais là je suppute. Quelqu'un a le temps de nous étudiez ça ?

[Mahow]

Bonjour à tous, me voilà de retour...

Donc pour ce qui est du Symbole, ça fait près de 2 ans sur plus de 200 pages que j'ai utilisé le symbole Oméga.

Une autre application fort intérressante ... la notion de croissance de fonction....

Citons les croissances : Constante, Linéaire, Polynomiale, Exponentielle.

La croissance la plus forte est Exponentielle.

Au dessus de Exponentielle comment trier ? Tout simplement avec l'opérateur Guérandien réciproque (ce que vous appelez entre vous la démultiplié valant exp (f' / f). )...

La démultiplié d'une exponentielle est exactement une constante....
Et le Guérandien d'une Linéaire est plus croissante qu'une Exponentielle, proche d'une Factorielle d'ailleurs....

(je suis très interressé par le guérandien réciproque de Gamma d'Euler d'ailleurs...)

Et on peut définir de nouvelles classes de croissance aisément dont on parle peu...

Sinon, pour aller plus loin :

J'ai trouvé de très nombreux théorèmes sur la convexité, croissance , etc....

Et pour finir une de mes applications préférées : Les Reseaux.
(un réseau Lambda de R^n est un sous groupe discret (de R^n) qui comme Z-module est engendré par une base de R^n (cf Dictionnaire des Mathématiques, PUF ) ).

Soit f une fonction de signe constant, si on considère f exp ( 2i pi n ) on a toujours f, mais le Guérandien est différent (j'appelle ça l'époque du Guérandien), et de plus f devient défini sur un Reseau Lambda..

J'ai remarqué que lorsque n grandissait, on avait un reseau toujours plus dense, finissant par donner Q^n.

C'est une explication très formelle de ce Théorème célèbre en Algèbre :

Soient K un corps, p sa caractéristique, et P son sous corps Premier.
Alors P est isomorphes à Q si p = 0, et à Fp si p > 0.

Le théorème s'ecrit donc :

lim (n->+oo) [ ( Oméga avec un n dessus f) ^( -1 ) ( R ) ] = Q. (f positive).

La démonstration est plus lourde par contre ... je ne la met pas.


Voilà j'ai en gros mis qques recherches effectuées en Début Première.
Après j'ai cherché des Resultats en Théorie des Nombres, mais je suis trop nul dans ce domaine, et j'ai aps envie de tout apprendre juste pour des histoires de Transcandance pour l'instant.

[breukin]

Voilà comment on s'en sort pour trouver la bonne branche. Tout vient du fait qu'on doive considérer que le produit continu d'une fonction réelle positive doit être réel positif, pour avoir un minimum de cohérence.

Considérons la fonction dans le plan complexe F(z) = Π_(0,z)(e^is)^ds, le produit continu étant effectué sur le segment du plan complexe (0,z).

Une branche continue du logarithme de e^is est is+2ikπ.
Donc F(z) = exp{∫_(0,z)(is+2ikπ)ds}
Soit F(z) = exp{iz²/2+2ikπz}

Prenons z = xe^iπ/4.

Alors d'après la représentation en produit continu :

F(xe^iπ/4) = Π_{(0,xexp(iπ/4))}e^isds = Π_(0,x)e^{iexp(iπ/4)texp(iπ/4)dt} = Π_(0,x)e^–tdt qui doit donc être réel

Et d'après la formule :

F(xe^iπ/4) = exp{ix²e^iπ/2/2+2ikπxe^iπ/4} = exp{–x²/2+2ikπxe^iπ/4}

Pour que ceci soit réel, il faut que k=0.

Et on a la formule générale Π_(0,z)(e^is)^ds = exp{iz²/2}

[invite4561a910]

Bonjour à tous,
Cela fait longtemps que ce sujet très intéressant n'a pas donné suite. Je me souviens avoir lu ce topic avec beaucoup d'intérêt il y a quelques années en restant un peu sur ma faim et ne sachant répondre à cette question : Quelle est l'intérêt du produit continu ?? On ne sait pas trop si ce sujet est bien connu des mathématiciens.. lorsqu'on recherche "produit continu" ou "intégrale multiplicative" sur google, on tombe sur des discussions dans des forums comme ici (et un article sur Wikipédia écrit en anglais mais qui donne peu d'infos : http://en.wikipedia.org/wiki/Product_integral). Le sujet semble susciter beaucoup d'intérêt car l'intégrale multiplicative regorge de propriétés intéressante !

Je reviens vers vous car je pense avoir trouvé une application concrète où l'intégrale multiplicative aurait son utilité !

Intéressons-nous à la loi de durée de vie d'un objet en supposant que la probabilité de fin de vie ne dépende pas de t. représente la probabilité que l'objet soit encore en vie à l'instant . Il s'agit d'une loi de durée de vie sans vieillissement : où est un réel positif. Sa valeur est déterminée en connaissant la valeur de pour un particulier.

Soit la probabilité que l'objet reste en vie ponctuellement à un instant donné. Puisque la loi est sans vieillissement et ne dépend pas de , est constante.
L'objet est toujours en vie à l'instant si il a "survecu" jusqu'à . Si l'on divise l'interval en plusieurs intervalles en choisissant un écart infinitésimal entre chaque valeur, la probabilité d'être encore en vie à l'instant est le produit continu des probabilités d'être en vie ponctuellement de à . Autrement dit :
On retombe bien sur la loi exponentielle de paramètre !

En poussant le raisonnement un peu plus loin, on peut modéliser une loi de durée de vie AVEC vieillissement. Si donne la probabilité de rester en vie ponctuellement à un instant , alors . La loi exponentielle que nous connaissons est en réalité un cas particulier de la loi de durée de vie avec vieillissement lorsque la fonction ponctuelle est constante.

[Murmure-du-vent]

Je ne connaissais pas la notation des produits integraux