dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

[alex769]

Bonjour,

quelqu'un pourrait-il me donner un contre exemple infirmant la propriété suivante:


En effet dans les cas simples j'arrive même à démontrer la relation mais il me semble bien me rappeler qu'elle n'est pas toujours vraie.

merci de votre aide
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[gg0]

Bonjour.

Peux-tu préciser de qui tu parles, car tes notations sont sans signification si on n'a pas un contexte précis.

Par exemple, si y=x², x n'est pas une fonction de y, donc le second membre n'existe même pas. De même, que veut dire l'exposant -1 ? inverse ? ou fonction réciproque ?

Cordialement.

[RealmPGM4]

Salut,
En admettant que tu parles d'inverse, prenons , alors . Aussi, notre équation de départ s'écrit . Alors, on a . Tu peux aisément voir que l'égalité que tu as donnée en pièce jointe n'est pas nécessairement respectée.

[RealmPGM4]

Ceci dit, je suis d'accord avec gg0, l'énoncé n'est pas clair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Salut,
En admettant que tu parles d'inverse, prenons , alors . Aussi, notre équation de départ s'écrit . Alors, on a . Tu peux aisément voir que l'égalité que tu as donnée en pièce jointe n'est pas nécessairement respectée.

Ben si :

[alex769]

pour les précisions:
*y est une fonction dépendant entre autre de x
*-1 est bien l'inverse

@ RealmPGM4: en effet on tombe bien sur Image 2.png mais en réinjectant Image 3.png on retrouve bien l'égalité citée.

[Médiat]

Bonjour alex769,

Merci d'utiliser Latex pour les formules et non des images (plus lourdes sur le serveur)

Médiat, pour la modération

[RealmPGM4]

Hmm, c'est en effet un bon point... Alors, les autres dérivées de bases respectent aussi cette règle. Désolé!

[alex769]

pour revenir sur ce que gg0 disait, il est vrai que si y=x² on semble avoir un problème mais en découpant le domaine de définition de x en 2: ]-inf;0[ et ]0;+inf[ on arrive à démontrer que la formule citée dans le premier post est correct.

Le seul problème est en 0 où l'on peut se dire que implique que l'on ne peut pas définir son inverse comme étant égale à 0.

La seule limitation de ne serait donc qu'un problème de domaine?

[gg0]

En fait, Alex769,

si (éventuellement localement) y est une fonction bijective dérivable de x : y=f(x), alors x est une fonction dérivable de y : x=g(y), où g est la réciproque de f. Et la formule que tu écris n'est que la formule habituelle pour la dérivée d'une fonction réciproque, avec éventuellement problème lorsque f' s'annule.
Et noter ici des dérivées partielles ne sert à rien, puisque tu n'exprimes nulle part d'autre variable.

Cordialement.

[alex769]

merci de ta réponse gg0.

en ce qui concerne les dérivées partielles, je les ai mises car je voulais justement parler de fonctions dépendant de plusieurs variables.
Dans le cas de dérivées droites le raisonnement est direct car on peut séparer "comme on veut les termes" ce que l'on ne peut pas faire avec des dérivées partielles.

ma question de départ suggérait donc implicitement que y=f(x,z,...) (même si je dois admettre que cela n'était pas assez clair).

d'après ce que je comprends de ta réponse, le formule données au premier post est donc valable sur un domaine où ma fonction est bijective. Dans ce cas que se passe-t-il justement pour les fonctions de plusieurs variables à valeurs dans R (si je ne me trompe pas il n'existe pas de fonction bijective de de Rⁿ dans R)?
Si ton explication est exacte la solution serait située dans le fait que les dérivée partielles sont réalisées par rapport à une seule et unique variable, les autres étant gardées constantes?

[gg0]

Bonsoir.

Si ton explication est exacte la solution serait située dans le fait que les dérivée partielles sont réalisées par rapport à une seule et unique variable, les autres étant gardées constantes?

C'est tout à fait ça. Après tout, les dérivées partielles sont des dérivées simples de fonctions d'une variable.
Si, par exemple f est une fonction de trois variables x, y et z, alors soit pour des y et z données. Alors, par définition,

Ou, en utilisant une notation moins liée aux variables :


A toi de voir si j'ai bien traduit ta problématique, car suppose d'exprimer tout soit en fonction de x, soit en fonction de y (voir le message de Médiat #5)

Cordialement.

[topmath]

Bonjour :

merci de ta réponse gg0.

en ce qui concerne les dérivées partielles, je les ai mises car je voulais justement parler de fonctions dépendant de plusieurs variables.
Dans le cas de dérivées droites le raisonnement est direct car on peut séparer "comme on veut les termes" ce que l'on ne peut pas faire avec des dérivées partielles.

ma question de départ suggérait donc implicitement que y=f(x,z,...) (même si je dois admettre que cela n'était pas assez clair).

d'après ce que je comprends de ta réponse, le formule données au premier post est donc valable sur un domaine où ma fonction est bijective. Dans ce cas que se passe-t-il justement pour les fonctions de plusieurs variables à valeurs dans R (si je ne me trompe pas il n'existe pas de fonction bijective de de Rⁿ dans R)?

Dans des cas plus générale on peut définir autrement Difféomorphisme .

Cordialement

[Médiat]

(si je ne me trompe pas il n'existe pas de fonction bijective de de Rⁿ dans R)?

Si, si, sans problème

[gg0]

Mais, si j'ai bien compris la question initiale, c'est g (voir mon message #12) qui doit être bijective.

Par exemple avec y=f(x,t,z)= x²tz définie seulement pour , et pour t=2 et z=3, g(x)=f(x,2,3)=6x² est une bijection de sur , et on peut alors parler de g^-1, et partant de y=g(x), exprimer x en fonction de y : (plus généralement
Par contre, f n'est pas une bijection de sur ou .

Cordialement.

[alex769]

Merci de vos réponses,

j'y vois maintenant beaucoup plus clair sur mon problème initiale.

Après j'avoue être un peu surpris de la dernière réponse de Médiat sur les applications bijectives de Rⁿ dans R mais ceci est un autre sujet.

Bonne soirée et encore merci