intégrale, étude de fonction

yonyon · 16/02/2006 - 10h45

Bonjour, j'ai un petit problème avec cet exercice Je vous poste l'énoncé en entier mais rassurez-vous c'est juste à la fin que je bloque:
On considère la fonction f définie sur R par:
$f(x)= \int_{x}^{2x} { \frac{sin t}{t^2} } \,\text{d}{t}$ si ${x} \, \neq \, {0}$ et f(0)=ln 2
1) Montrer que f est paire et qu'elle est dérivable en tout x non nul. c'est bon
2) a)Montrer, grâce à une IPP, que pour tout x non nul:
$f(x)= \frac{sinx}{x} - \frac{sin 2x}{2x}+ \int_{x}^{2x} { \frac{cos t}{t} } \,\text{d}{t}$ c'est bon
b) Soit t un réel strictement positif. Montrer que : ${0} \, \leq \, {1-cos t} {} \, \leq \, {t^2}$ , c'est bon
c) En déduire que $\lim_{ x\rightarrow 0}\int_{x}^{2x} { \frac{1-cos t}{t} } \,\text{d}{t} =0$ puis que f est continue en 0., c'est bon
3) a) Soit x non nul. Montrer que f'(x) est équivalent à -x/2 au voisinage de 0. En déduire que f est dérivable en 0. Préciser f'(0). c'est bon

b)Etudier le signe de f' sur [0; pi], dresser le tableau de variatioon de sur cet intervalle puis montrer qu'il existe un unique a entre 0 et pi tel que f(a)=0
c'est là que ça coince:
le tableau de variation c'est bon, je trouve que f est décroissante, mais mon problème, c'est pour l'existence du a unique, je pensais chercher à montrer que f(pi) était négatif mais c'est ce qu'on me demande à la question suivante.... comment faire?
c) Montrer que f(pi/2)>0 et f(pi)<0. En déduire un encadrement de a
Je ne vois pas comment montrer que f(pi/2)>0 et f(pi)<0.
4) Montrer que pour tout x>0 : $|f(x)| {} \, \leq \, { \frac{1}{2x} }$
En déduire la limite de f en ${+ -} \infty$
cette question là c'est bon.

Merci d'avance pour votre aide

nissart7831 · 16/02/2006 - 12h13

Envoyé par yonyon

Je ne vois pas comment montrer que f(pi/2)>0 et f(pi)<0

En étudiant le signe du terme dans l'intégrale en fonction de celui de sin(t) sur les intervalles considérés, tu devrais pouvoir conclure.
Si f>0 (resp. f <0) sur [a,b] alors
$\int_a^b f(t) dt$ > 0 (resp. < 0).

De plus, il me semble que f n'est décroissante que sur [ $\pi$ /3, $\pi$ ]. Ce qui ne change rien à l'étude précédente et à la suite.

Manelle23 · 23/08/2007 - 20h34

Bonjour,

je cherchais des exos sur des intégrales sur le forum pour en trouver certains proches de celui que je suis en train de faire et paf, la même fonction à étudier!

J'ai un problème sur la même question que yonyon ( f(pi/2)>0 et f(pi)<0 ) parce que j'ai pensé également à appliquer la positivité de l'intégrale ( sin(t)/t^2 >= 0 sur pi/2 ; pi ), mais mon problème c'est que je n'arrive pas à montrer la stricte positivité (et négativité).

Je dois également montrer que la limite qand x tend vers 0 de $1/t^2$

Manelle23 · 23/08/2007 - 20h47

Bonjour,

je cherchais des exos sur des intégrales sur le forum pour en trouver certains proches de celui que je suis en train de faire et paf, la même fonction à étudier!

J'ai un problème sur la même question que yonyon ( f(pi/2)>0 et f(pi)<0 ) parce que j'ai pensé également à appliquer la positivité de l'intégrale ( sin(t)/t^2 >= 0 sur [pi/2 ; pi] ), mais mon problème c'est que je n'arrive pas à montrer la stricte positivité (et négativité).

Je dois également montrer que la limite quand x tend vers 0 de $\int_{x}^{2x}g(t)dt$ est égale à 0 avec g(t)=(sin(t)-t)/t^2 si t différent de 0 et g(0)=0

Puisque les bornes de l'intégrale "se rapprochent infiniment", cette limite est intuitive mais j'ai du mal à le prouver formellement. Je pensais poser G primitive de g et donc avoir G(2x)-G(x), et en appelant L la limite de G quand x tend vers 0, par passage à la limite, L-L=0. Mais je ne pense pas que ce soit suffisamment rigoureux, alors si vous avez des suggestions...

Merci d'avance,

Manelle

EDIT : Mince : premier message est déjà une erreur de manip, désolée, je voulais prévisualiser le message précédent et j'ai envoyé.

Ledescat · 23/08/2007 - 21h05

Bonsoir.

Bon déjà $f'(x)=\fr{sin(x)(cos(x)-1)}{x^2}$ clairement négatif (et strictement) sur ]0;Pi[.

Donc f décroissante sur cet intervalle.
De plus, sin(x)/x² est négatif entre Pi et 2Pi, donc f(Pi)=<0
L'inégalité est en fait stricte, vu que f est strictement décroissante sur [0;Pi].
Donc f(Pi)<0.

Je réfléchis pour le pi/2, je penserais à utiliser la forme avec le cos, quoique...

Ledescat · 23/08/2007 - 21h08

Pour ta deuxième question, g est continue en 0 (vérifie si tu veux).
Sa primitive F l'est donc aussi (implication inverse fausse

).

Donc $\lim_{x \rightarrow 0} F(x)=\lim_{x \rightarrow 0} F(2x)= F(0)$

François

Ledescat · 23/08/2007 - 21h14

Oups, il manque un 8 comme coeff à la dérivée il me semble, je ne regardais que le signe .
Et l'inégalité stricte ne se voit pas en étudiant f' en fait (je pensais que f(0)=0

).

Il suffit de remarquer que sin(x)/x² est négatif sur [pi;2pi] et ne s'annule ponctuellement que 2 fois, donc l'intégrale est bien <0.

Ledescat · 23/08/2007 - 22h51

Il n'y a en fait pas de 8, ni de 4, tout se simplifie (

Fonky).

FonKy- · 23/08/2007 - 23h36

Voila et il en va de meme pour f(Pi/2)

Si tu as des questions n'hésite pas

FonKy-

Manelle23 · 24/08/2007 - 15h06

Merci beaucoup pour cette réponse complète et rapide.

Envoyé par Ledescat

Bon déjà $f'(x)=\fr{sin(x)(cos(x)-1)}{x^2}$ clairement négatif (et strictement) sur ]0;Pi[.

J'avais effectivement trouvé ça, mais pas cette justification "Il suffit de remarquer que sin(x)/x² est négatif sur [pi;2pi] et ne s'annule ponctuellement que 2 fois, donc l'intégrale est bien <0."

Pour la continuité de la primitive de g, en effet, je suis totalement d'accord, et cela résoud mon problème!

Encore merci! Il me reste une question à faire, mais je vais continuer à y réfléchir un peu...

Manelle