intégrale, étude de fonction

[invite0f0e1321]

Bonjour, j'ai un petit problème avec cet exercice Je vous poste l'énoncé en entier mais rassurez-vous c'est juste à la fin que je bloque:
On considère la fonction f définie sur R par:
si et f(0)=ln 2
1) Montrer que f est paire et qu'elle est dérivable en tout x non nul. c'est bon
2) a)Montrer, grâce à une IPP, que pour tout x non nul:
c'est bon
b) Soit t un réel strictement positif. Montrer que : , c'est bon
c) En déduire que puis que f est continue en 0., c'est bon
3) a) Soit x non nul. Montrer que f'(x) est équivalent à -x/2 au voisinage de 0. En déduire que f est dérivable en 0. Préciser f'(0). c'est bon

b)Etudier le signe de f' sur [0; pi], dresser le tableau de variatioon de sur cet intervalle puis montrer qu'il existe un unique a entre 0 et pi tel que f(a)=0
c'est là que ça coince:
le tableau de variation c'est bon, je trouve que f est décroissante, mais mon problème, c'est pour l'existence du a unique, je pensais chercher à montrer que f(pi) était négatif mais c'est ce qu'on me demande à la question suivante.... comment faire?
c) Montrer que f(pi/2)>0 et f(pi)<0. En déduire un encadrement de a
Je ne vois pas comment montrer que f(pi/2)>0 et f(pi)<0.
4) Montrer que pour tout x>0 :
En déduire la limite de f en
cette question là c'est bon.

Merci d'avance pour votre aide
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[nissart7831]

Je ne vois pas comment montrer que f(pi/2)>0 et f(pi)<0

En étudiant le signe du terme dans l'intégrale en fonction de celui de sin(t) sur les intervalles considérés, tu devrais pouvoir conclure.
Si f>0 (resp. f <0) sur [a,b] alors
> 0 (resp. < 0).

De plus, il me semble que f n'est décroissante que sur [/3, ]. Ce qui ne change rien à l'étude précédente et à la suite.

[invite199b4948]

Bonjour,

je cherchais des exos sur des intégrales sur le forum pour en trouver certains proches de celui que je suis en train de faire et paf, la même fonction à étudier!

J'ai un problème sur la même question que yonyon ( f(pi/2)>0 et f(pi)<0 ) parce que j'ai pensé également à appliquer la positivité de l'intégrale ( sin(t)/t^2 >= 0 sur pi/2 ; pi ), mais mon problème c'est que je n'arrive pas à montrer la stricte positivité (et négativité).

Je dois également montrer que la limite qand x tend vers 0 de

[invite199b4948]

Bonjour,

je cherchais des exos sur des intégrales sur le forum pour en trouver certains proches de celui que je suis en train de faire et paf, la même fonction à étudier!

J'ai un problème sur la même question que yonyon ( f(pi/2)>0 et f(pi)<0 ) parce que j'ai pensé également à appliquer la positivité de l'intégrale ( sin(t)/t^2 >= 0 sur [pi/2 ; pi] ), mais mon problème c'est que je n'arrive pas à montrer la stricte positivité (et négativité).

Je dois également montrer que la limite quand x tend vers 0 de est égale à 0 avec g(t)=(sin(t)-t)/t^2 si t différent de 0 et g(0)=0

Puisque les bornes de l'intégrale "se rapprochent infiniment", cette limite est intuitive mais j'ai du mal à le prouver formellement. Je pensais poser G primitive de g et donc avoir G(2x)-G(x), et en appelant L la limite de G quand x tend vers 0, par passage à la limite, L-L=0. Mais je ne pense pas que ce soit suffisamment rigoureux, alors si vous avez des suggestions...

Merci d'avance,

Manelle

EDIT : Mince : premier message est déjà une erreur de manip, désolée, je voulais prévisualiser le message précédent et j'ai envoyé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Bonsoir.

Bon déjà clairement négatif (et strictement) sur ]0;Pi[.

Donc f décroissante sur cet intervalle.
De plus, sin(x)/x² est négatif entre Pi et 2Pi, donc f(Pi)=<0
L'inégalité est en fait stricte, vu que f est strictement décroissante sur [0;Pi].
Donc f(Pi)<0.

Je réfléchis pour le pi/2, je penserais à utiliser la forme avec le cos, quoique...

[invitec053041c]

Pour ta deuxième question, g est continue en 0 (vérifie si tu veux).
Sa primitive F l'est donc aussi (implication inverse fausse ).

Donc


François

[invitec053041c]

Oups, il manque un 8 comme coeff à la dérivée il me semble, je ne regardais que le signe .
Et l'inégalité stricte ne se voit pas en étudiant f' en fait (je pensais que f(0)=0 ).

Il suffit de remarquer que sin(x)/x² est négatif sur [pi;2pi] et ne s'annule ponctuellement que 2 fois, donc l'intégrale est bien <0.

[invitec053041c]

Il n'y a en fait pas de 8, ni de 4, tout se simplifie ( Fonky).

[FonKy-]

Voila et il en va de meme pour f(Pi/2)

Si tu as des questions n'hésite pas

FonKy-

[invite199b4948]

Merci beaucoup pour cette réponse complète et rapide.

Bon déjà clairement négatif (et strictement) sur ]0;Pi[.

J'avais effectivement trouvé ça, mais pas cette justification "Il suffit de remarquer que sin(x)/x² est négatif sur [pi;2pi] et ne s'annule ponctuellement que 2 fois, donc l'intégrale est bien <0."

Pour la continuité de la primitive de g, en effet, je suis totalement d'accord, et cela résoud mon problème!

Encore merci! Il me reste une question à faire, mais je vais continuer à y réfléchir un peu...

Manelle