Question simple famille libre

[daviddit]

Bonjour,

ma question est toute simple, mais je souhaiterais avoir une confirmation
de votre part.
Soit K un corps, P un polynome irréductible sur K, et E l'extension de
corps E = K/(P).
A t-on l'équivalence suivante :
Soit n un entier > 0 et m un entier > 0.
Soit F = (vi)i=1,m une famille finie d'éléments du K-espace vectoriel K^n.
Alors F est libre dans K <=> F est libre dans E ?

Merci pour vos réponses.

Bien cordialement

David
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[Amanuensis]

Annullé...

[Amanuensis]

Avec n=degré de P, j'imagine?

[daviddit]

Si d+1 est le degré de P :
Mon, idée c'est que si F est libre dans E, alors elle est libre dans K.
Pour la réciproque :
Si F est liée dans E, alors il existe m scalaires de E s1, ..., sm
tels que s1.v1 + ... sm.vm = 0
On écrit pour tout i, si = a0i + a1i.X + ... + adi.X^d
donc il existe j et i tel que aji != 0 et
s1.aj1.v1 + ... sm.ajm.vm = 0
Donc F est liée dans K

[A voir en vidéo sur Futura]

[daviddit]

Heu pardon : au lieu de s1.aj1.v1 + ... sm.ajm.vm = 0, remplacer par aj1.v1 + ... ajm.vm = 0

[Amanuensis]

Pour la réciproque :

La réciproque n'est pas F liée dans E => F liée dans K^n, mais F libre dans K^n => F modulo P libre dans E, il me semble.

Or ce n'est pas le cas si n est strictement supérieur au degré du polynôme. (Suffit de prendre la famille de deux éléments (1, P+1)).


(Une difficulté vient peut-être de l'énoncé Je le comprends comme suit:

Soit F = (vi)i=1,m une famille finie d'éléments du K-espace vectoriel K^n. F est libre dans K <=> F est libre dans E

rectifié en F est libre dans K^n <=> F est libre dans E

n'a de sens que si E est pris comme sous-ensemble de K^n. Alors on ne peut parler de "F libre dans E" pour une famille quelconque F, y compris donc contenant des éléments pas dans E, qu'en considérant la surjection canonique V -> V mod P.)

[daviddit]

"La réciproque n'est pas F liée dans E => F liée dans K^n, mais F libre dans K^n => F modulo P libre dans E, il me semble."

J'avoue que je ne comprends pas tellement en fait.
F est une famille de vecteurs de K^n

Du coup je ne vois pas bien l'histoire du modulo P

Mais ça doit venir de mon imprécision dans l'énoncé, qui me semblait simple mais j'ai du oublier un truc.

F libre dans E, pour moi ça voulait dire que
- F = (Vi)i=1,k est une famille de vecteurs de K^n, donc par plongement (je sais pas si c'est le terme exacte), une famille de vecteurs de E^n.
- Pour tout (s1, ..., sk) éléments de E = K/(P) tels que s1.v1 + ... + s2.v2 = 0, on a forcément s1 = s2 = ... = sk = 0
Attention, cette famille est une famille de K^n

"La réciproque n'est pas F liée dans E => F liée dans K^n, mais F libre dans K^n => F modulo P libre dans E, il me semble."

Pour moi, montrer F libre dans K^n <=> F libre dans E^n c'est équivalent à montrer :
- F libre dans E^n => F libre dans K^n
- et F liée dans E^n => F liée dans K^n

car je crois, mais je me trompe peut-être, que non(F libre dans un ev) = F liée

[Amanuensis]

Si vous procédez par "plongement", partir de "F liée dans E" ou "F libre dans E" peut être compris comme restreignant le choix de F à des vecteurs de E.

Si on part de "F une famille finie d'éléments du K-espace vectoriel K^n, libre dans K^n" (comme dans l'énoncé message #1), F peut comprendre des vecteurs qui ne sont pas dans E ; on peut néanmoins alors donner un sens à "F libre dans E" en prenant le modulo.


Développons l'exemple. Prenons R comme corps, et P=X²+1 ; E= R[X]/X²+1. Dans R^3 vu comme les polynômes de degré au plus 2, on prend la famille de deux vecteurs (1,0,0) dans la base usuelle [soit le polynôme X²] et (0,0,1) [soit le polynôme 1]. C'est bien une "une famille finie d'éléments du K-espace vectoriel K^n", ici R^3 ; et elle est libre. On ne peut pas la voir telle quelle comme une famille de E vu comme les polynômes de degré au plus 1, puisque (1,0,0) n'y appartient pas. L'énoncé n'a apparemment pas de sens.

On peut donner un sens, très naturellement, en prenant le modulo P. (1,0,0) est assimilé à un élément de E en prenant son modulo X²+1, soit (0,0,-1). Et alors la famille {(0,0,-1),(0,0,1)} est liée.

(La difficulté disparaît si on limite n au degré de P, d'où ma question initiale.)

[daviddit]

Je comprends rien ... Enfin je vous remercie quand même de m'aider
Pour moi K = R est inclus dans E = C = R/(1 + X^2), et du coup on peut
prendre une famille F de vecteur de K^3 (vu comme un sous-ensemble de E^3),
par exemple F = (v1, v2, v3) = ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) et dire qu'elle est libre
ou non dans E^3 ...
Et donc que ça a un sens ?
Et donc pour pour F liée dans E^3 => F liée dans K c'est dire :
Soit s1, s2 et s3 des scalaires de E tels que s1 tels que s1.v1 + s2.v2 + s3.v3 = 0
ie (s1, s2, s3) = 0
On écrit s1 = a10 + a11.X, pareil pour s2 et s3. avec les aij dans K.
Du coup on a (a10 + a11.X, a20 + a21.X,, a30 + a31.X,) = 0
donc par unicité de l'écriture modulo, on a :
(a10, a20, a30) = 0 et (a11, a21, a31) = 0.
Donc a10.v1 + a20.v2 + a30.v3 = 0 et a11.v1 + a21.v2 + a31.v3 = 0,
et comme tous les aij sont dans K et qu'il existe un ai,j différent de 0,
(v1, v2, v3) est liée dans K.

[Amanuensis]

Et donc pour pour F liée dans E^3 => F liée dans K. (...)

que je rectifie en: F liée dans K^3 => F liée dans E

Avec la même approche il est faux que

F libre dans K^3 => F libre dans E