Problème probabilité

[Y2Jeremy]

Bonjour,
J'ai un dm de math avec pour énoncé :
Une personne se trouve devant une porte fermées à clé. Elle dispose d'un trousseau de n clés parmi lesquelles une seule ouvre la porte. Quelle est la probabilité Pk qu'elle ouvre la porte au k-ième essai ?
1° La personne oublie les clés essayés
2° Elle ne les oublie pas

En faisant par l'expérience, j'arrive pour la 1 à (1/n)*((n-1)/n)^(k-1) et la 2, 1/(n-k+1) mais je ne vois pas comment le justifier.
P.S : je suis en Terminal S

[Brikkhe]

Alors...

Il a n clés.
Il va en choisir 1 parmi n (pour le 1er essai),
puis 1 parmi (n-1) (pour le 2e essai)
puis 1 parmi (n-2) (pour le 3e essai)
...
puis 1 parmi (n-(k-1)) (pour l'avant dernier essai)
puis 1 parmi (n-k) (pour le k-ième essai (soit encore le dernier essai)...)

C'est bon maintenant?

[Y2Jeremy]

Je pense que (n-(k-1)) c'est pour le dernier essai car on obtient une probabilité de 1 (k=n). Mais ce n'est pas une démonstration. Pour la 1 j'ai trouvé avec bernoulli dans le livre mais nous ne l'avons pas encore fait en cour.

[Brikkhe]

Alors...

Il a n clés.
Il va en choisir 1 parmi n (pour le 1er essai),
puis 1 parmi (n-1) (pour le 2e essai)
puis 1 parmi (n-2) (pour le 3e essai)
...
puis 1 parmi (n-(k-2)) (pour l'avant dernier essai)
puis 1 parmi (n-(k-1)) (pour le k-ième essai (soit encore le dernier essai)...)
C'est bon maintenant?

Effectivement, j'ai fais ca en vitesse tout à l'heure, dsl.
Mais on ne veut pas vraiment de démonstration, on veut un calcul (enfin... selon moi...)

donc
proba d'avoir la bonne au premier coup multiplié (car c'est un "tirage" "sans remise", on additionnerait si on "remettait" les clés déjà choisies) par la proba de l'avoir au 2e choix multiplié par... multiplié par la proba d'avoir la bonne clé au k-ième choix soit:



on peut aussi l'écrire avec des factorielles.

@pluche!

[Y2Jeremy]

oui, nous sommes d'accord

Mais que penses-tu de la première situation?

[Brikkhe]

Ceci est le nombre de choix possible (en prenant en compte l'ordre de choix).

S'il trouve la bonne clé au k-ième choix, alors, il faut prend en compte le nombre de clés présentes lors de ce choix.
Si l'on ne remet pas les clés déjà choisies précédemment, on aura:

n clés lors du 1er choix
(n-1) clés lors du 2-ième choix
(n-2) clés lors du 3-ième choix
...
(n-(k-2)) clés lors du (k-1)-ième choix
(n-(k-1)) clés lors du k-ième choix

on a donc 1 chance sur (n-(k-1)) de trouver la bonne clé

Si l'on remet les clés après chaque tirage, on n'aura toujours le même nombre de clés cad...?
et donc on aura toujours 1 chance parmi ce nombre de clés de trouver la bonne...

@pluche!

PS: j'en fais trop et je devrais te faire plus chercher par toi même... la prochaine fois, tu vas chercher!

[Michèle57]

Je sais maintenant pourkoi j'ai fais un bac et une fac de lettres

[GuYem]

Je sais maintenant pourkoi j'ai fais un bac et une fac de lettres

Bienvenue sur le forum de maths !

Tu ne savais pas avant de venir ici pourquoi tu avais choisi de faire des lettres ?

[matthias]

Je sais maintenant pourquoi j'ai fait un bac et une fac de lettres

Pour apprendre le français aux matheux ?

[yat]

on a donc 1 chance sur (n-(k-1)) de trouver la bonne clé

Pour moi ça ne passe pas. Illustration rapide, 3 clés.
Pour le troisième essai, la formule donne une probabilité de 1. Ca c'est la probabilité de trouver au troisième essai sachant qu'elle n'a pas été trouvée lors des deux premiers essais, ce qui ne correspond pas à l'énoncé tel qu'il est posé.

Lors du premier essai, on a de manière évidente une probabilité d'1/3 de trouver la clé.
Si on n'a pas trouvé au premier essai, on a une probabilité de 1/2 de trouver la clé. Mais comme cette situation n'a qu'une probabilité de 2/3 de se produire, la probabilité de trouver au deuxième essai es 1/2*1/3 = 1/3.

De même la probabilité de trouver au troisième essai est également de 1/3. Donc pour un tirage sans remise (c'est à dire si on se souvient des clés qu'on a utilisées), la probabilité de trouver la clé au k-ieme essai est 1/n.

[Brikkhe]

1/2*1/3 = 1/6

Mais cet exo est bien un exo de probas c'est à dire: discutable mais aussi très mal expliqué
si on n'a pas trouvé la clé au tirage 7, s'il y a 19 clés, la probabilité de trouver au tirage 11 est de soit car on aura enlevé 10 clés lors des 10 choix précédents...

Maintenant, il faut voir si il faut prendre en compte la proba d'arriver au tirage k ou pas...

@pluche!

[yat]

1/2*1/3 = 1/6

Ou plus précisément, 1/2*2/3=1/3... merci de la correction, même si elle est un peu à coté

si on n'a pas trouvé la clé au tirage 7, s'il y a 19 clés, la probabilité de trouver au tirage 11 est de soit car on aura enlevé 10 clés lors des 10 choix précédents...

Tout est là : tu es obligé de commencer ta phrase par un si. Donc, probabilités conditionelles. Or, là, ce qu'on demande, c'est la probabilité de trouver la clé au kieme essai. Tout court. On ne demande pas la probabilité de trouver la clé au kieme essai sachant que les précédents ont été infructueux.

Alors moi je lis l'énoncé, je prends comme exemple n=3, je fais 2500 tests et au bout de 2500 tests je me rends compte que j'ai trouvé la clé 829 fois au premier essai, 837 fois au deuxième et 834 fois au troisième essai. (Non, je n'ai pas fait le test... mais si quelqu'un pense que je risque d'obtenir des résultats totalement différents, qu'il m'explique pourquoi ) Alors si on me dit que la probabilité de trouver la clé au troisième essai est de 1, je réponds "certainement pas".

[Y2Jeremy]

moi je suis d'accord avec Brikkhe

Cela me paraît juste

[Brikkhe]

(Pour la correction, yat, ce n'était pas dans le but de pinailler ou de vouloir faire des mimiques et me la péter à corriger les autres hein, tu t'en doutes. Je sais que certains essayent parfois de ridiculiser les autres etc C'est vrai que j'ai répondu à coté mais je n'ai pas fais attention aux calculs, je me préoccupais du fond de l'exo avant car pendant les DS, j'ai trop tendance à me lancer dans les calculs sans meme réfléchir à ce que je fais donc, j'essaie de me corriger )

Mais donc, soit on veut calculer la probabilité de trouver la bonne clé LORS du k-ième tirage (il ne faut donc pas s'occuper de la probabilité qu'il ait lieu ou non), soit on veut la probabilité de trouver la clé à un choix k (donc il faut prendre en compte la proba d'arrive à ce choix k)

A méditer

@pluche et bon week end à tous!

[Michèle57]

Pour apprendre le français aux matheux ?

hou le méchant
elle était facile celle là
d'abord j'ai pas dit que j' avais réussi mes exams
En fait j'étais venue sur ce forum par curiosité, mais j'avoue que je trouve cela hyper compliqué.
En tous cas je vous trouve costauds.
Bon je me suis relue, j éspère que jé pa fé deux fote cet foi
bon courage à tous