Combien d'isomorphismes du corps fini à p^d éléments ?

**acx01b** · 19/07/2014, 16h41

Bonjour,

c'est facile de compter le nombre d'isomorphismes de corps $\text{[math]}$ ?

je note $\text{[math]}$ ce nombre d'isomorphismes de corps

$\text{[math]}$ est un nombre premier, $\text{[math]}$

le groupe multiplicatif a $\text{[math]}$ éléments et est cyclique, donc on a $\text{[math]}$ isomorphismes de groupe pour le groupe multiplicatif, où $\text{[math]}$ est l'indicatrice d'Euler, le nombre d'entiers premiers avec $\text{[math]}$ ?
en effet il suffit de choisir un générateur pour avoir un isomorphisme de groupe, et il y a $\text{[math]}$ générateurs d'un groupe cyclique à $\text{[math]}$ éléments ?

et le groupe additif c'est le produit direct de $\text{[math]}$ groupes cycliques à $\text{[math]}$ éléments, donc il y a $\text{[math]}$ isomorphismes de groupe pour le groupe additif ?

et donc $\text{[math]}$ ?

**acx01b** · 19/07/2014, 16h47

il faut peut-être dire le nombre d'automorphismes, non ? et $\text{[math]}$

**gg0** · 19/07/2014, 16h53

Ça revient au même, puisque si tu as un isomorphisme entre $\text{[math]}$ et L, tu obtiens tous les autres en composant avec les automorphismes de $\text{[math]}$ (ou de L, mais par isomorphie il y en a autant).

Par contre, je n'ai pas compris ta majoration par le produit. Moi, j'aurais pris le min, puisqu'il faut les deux conditions.

Cordialement.

**acx01b** · 19/07/2014, 17h16

ben justement je me demande quel est le min !
il n'est pas clair mon max ?
j'ai $\text{[math]}$ isomorphismes du groupe multiplicatif,
et $\text{[math]}$ isomorphismes du groupe additif,

et comme un isomorphisme de corps c'est essentiellement un isomorphisme du groupe multiplicatif et un isomorphisme du groupe additif tels qu'ils soient compatibles l'un avec l'autre, c'est à dire qu'ils forment un corps donc que la multiplication soit distributive sur l'addition,

on a que le nombre d'isomorphisme de corps est plus petit que le nombre d'isomorphisme de groupe multiplicatif fois le nombre d'isomorphisme de groupe additif :

j'ai que $\text{[math]}$

maintenant pour avoir l'égalité il suffit que n'importe lequel de ces isomorphismes du groupe multiplicatif soit distributif sur n'importe lequel de ces isomorphismes du groupe additif,

donc c'est un peu ça ma question : sont-ils tous distributifs ?

je pense que oui, parce que je prends des éléments du groupe multiplicatif (définis à partir d'un générateur) :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
en écrivant ça j'ai défini l'addition de 2 éléments par l'addition d'un élément et de 1, et j'ai aussi exprimé la distributivité

si je note $\text{[math]}$ la fonction "successeur" tel que :
$\text{[math]}$

remarque : si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
ainsi $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

alors je peux définir l'addition : $\text{[math]}$

donc en gros pour avoir la distributivité il faut que $\text{[math]}$ et c'est là que j'ai du mal à l'écrire rigoureusement mais je pense que c'est OK

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**Médiat** · 19/07/2014, 18h09

Bonjour,

Il me semble que c'est un résultat classique que le groupe des automorphismes de $\text{[math]}$ est cyclique d'ordre $\text{[math]}$ , et qu'un générateur est l'automorphisme de Frobenius ( $\text{[math]}$ )

**gg0** · 19/07/2014, 18h18

Acx01b :

Quand un objet appartient à deux catégories d'effectifs m et n, le nombre k d'objets vérifie :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
Dire $\text{[math]}$ est une majoration plutôt grossière, non ?

**acx01b** · 19/07/2014, 18h38

non Médiat je ne comprends pas comment le groupe des automorphismes de corps $\text{[math]}$
serait cyclique et d'ordre $\text{[math]}$

ça voudrait dire qu'il n'y a que $\text{[math]}$ automorphismes ? pourtant j'ai $\text{[math]}$ générateurs du groupe multiplicatif, ce qui me permet de confectionner $\text{[math]}$ automorphismes de corps

pour deux générateurs $\text{[math]}$ du groupe multiplicatif $\text{[math]}$ je fais l'automorphisme :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
l'automorphisme de corps est bien un automorphisme du groupe multiplicatif

puisque $\text{[math]}$ sont générateurs, il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$

mon addition dans $\text{[math]}$ est définie par la fonction successeur :
$\text{[math]}$
et après application de l'automorphisme $\text{[math]}$ je garde la même addition mais ma fonction successeur est un peu modifiée :
$\text{[math]}$

et donc :

$\text{[math]}$
l'automorphisme de corps est bien un automorphisme du groupe additif et de plus la multiplication est distributive sur l'addition

Envoyé par gg0

Acx01b :

Quand un objet appartient à deux catégories d'effectifs m et n, le nombre k d'objets vérifie :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
Dire $\text{[math]}$ est une majoration plutôt grossière, non ?

je ne comprends pas bien, l'isomorphisme du groupe additif se déduit de l'isomorphisme du groupe multiplicatif, c'est ça ?
ben dans ce cas je ne vois pas vraiment pourquoi.

je vais réfléchir merci !

**acx01b** · 19/07/2014, 18h44

petite erreur de frappe

Envoyé par acx01b

puisque $\text{[math]}$ sont générateurs, il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

**Médiat** · 19/07/2014, 19h03

Envoyé par acx01b

non Médiat je ne comprends pas comment le groupe des automorphismes de corps $\text{[math]}$ serait cyclique et d'ordre $\text{[math]}$ ça voudrait dire qu'il n'y a que $\text{[math]}$ automorphismes ? pourtant j'ai $\text{[math]}$ générateurs du groupe multiplicatif, ce qui me permet de confectionner $\text{[math]}$ automorphismes de corps !

Avez vous essayé de construire les 6 (selon vous) automorphismes de $\text{[math]}$ , moi je n'en trouve que 3 (rien ne garantit qu'un automorphisme du groupe multiplicatif soit obligatoirement un automorphisme du groupe additif).

**acx01b** · 19/07/2014, 22h01

En effet:

dans $\text{[math]}$

je prends la représentation polynomiale (donc $\text{[math]}$ est une $\text{[math]}$ algèbre), mon polynôme irréductible sur $\text{[math]}$ c'est $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

les règles de calculs sont donc :
$\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$

comme générateur du groupe multiplicatif j'ai choisi
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

l'automorphisme $\text{[math]}$ c'est bon

par contre $\text{[math]}$ ça ne marche pas. en effet :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
on n'a pas le même résultat, donc $\text{[math]}$ notre automorphisme du groupe multiplicatif n'est pas un automorphisme du groupe additif, ou plutôt ce n'est pas distributif ?

pourquoi ça ????!!!!

**Médiat** · 19/07/2014, 22h21

Comme je l'ai écrit dans mon message précédent, il n'y a aucune raison qu'un automorphisme pour un élément du langage soit automatiquement un automorphisme pour tous les éléments du langage, c'est le contraire qui serait étonnant (et peut être même que cela démontrerait la définissabilité du langage à partir d'une de ses parties propres).

**acx01b** · 19/07/2014, 22h36

Merci !

j'essaye de faire le point

clairement ici le problème c'est :

on a $\text{[math]}$ un automorphisme multiplicatif, si c'est aussi un automorphisme additif alors

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

donc il faut que $\text{[math]}$ et ce pour tout $\text{[math]}$ !
ça laisse penser qu'il y a finalement "très peu de chance"

et a priori la distributivité n'est pas un problème

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