Résolution des équations de récurrence

[ale252]

Bonjour,

Je dois me présenter à un examen et je ne sais pas comment on résout des équations de récurrence. Est-ce que quelqu'un pourrait me détailler la marche a suivre?

Par exemple:

X_t+1 = X_t - 4

Avec X₀ = 0

Ou alors:

X_t+1 = 1/2 X_t + 2

Avec X₀ = 6

Merci beaucoup pour votre aide
Salutaions
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[mickan]

Bonjour,

Pour les exemples cités, on reconnait une suite arithmétique et une arithmético-géométrique.
Ensuite ton cours t'informe de la solution.

Par exemple,
X_n+1 = X_n - 4
raison = -4
Avec X₀ = 0

Ton cours te donne la solution en X_n = X₀ +n*raison
donc X_n =-4*n

Pour le second exemple,
X_t+1 = 1/2 X_t + 2

Avec X₀ = 6

Soit l définit par l=0.5*l+2 donc 0.5*l=2 soit l=4

posons Z_n=X_n-l
alors Z_n+1=X_n+1-l=1/2 X_n + 2-l=1/2 (Z_n + l)+2-l=0.5*Z_n +0.5*l+2-l=0.5*Z_n
Z_n est une suite géométrique avec Z₀=2 et de raison= 0.5
donc Z_n=Z₀*raisonⁿ=2*(0.5)ⁿ
finalement, X_n=Z_n+l=2*(0.5)ⁿ+4