Conditions : Fonction à deux variables réelles injective

[Upium666]

Bonjour,

Soient :

et telles que l'une des deux applications au moins soit surjective
alors définie par
est surjective

De manière analogue, pouvez-vous me donner des conditions pour bricoler une fonction à deux variables réelles à valeurs réelles qui soit injective ?

Merci
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[ParentEZ]

Es-tu certain que c'est seulement faisable ?
En tout cas avec les fonctions classiques, ça semble vraiment compromis, surtout si tu veux qqch de continu...

Apres, si tu te restreins sur Q et non R, tu peux t'appuyer sur sa dénombrabilité pour t'en sortir facilement, mais sans étendre ensuite ton résultat a R...

[gg0]

Bonjour.

Il existe des fonctions de dans qui sont injectives (voire bijectives), mais tu ne les auras pas par un calcul du même genre.

Je te laisse chercher sur le net, autour des thèmes "bijection entre R et R²", "puissance du continu", "équipotent à R", ...

Cordialement.

[ParentEZ]

On peut en exposer et en construire (en jouant sur les décimales par exemple, ok), mais pas de continues de toute façon...?

Et il n'existe pas de conditions aussi générales que celles exposées par l'auteur ? si ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Upium666]

Bonjour et merci pour vos réponses,

J'ai eu mon bac S cette année donc j'ai peu de connaissances là-dessus

Je suis arrivé à construire une fonction injective :

Cependant, elle n'est pas à valeurs dans R

Je ne cherche pas non plus à ce qu'elle soit continue

Je me suis intéressé aussi à la construction de l'ensemble R de Dedekind (qui le définit à l'aide des coupures de Q : ne peut-on donc pas passer de Q à R ?) , c.f : http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Const..._nombres_réels

Merci de m'aider encore ^^

[ParentEZ]

Mhhhh... Injective ?



et

[ParentEZ]

Apres, si tu veux juste en construire 1, tu peux entremêler les décimales de x et y. Par exemple :
x = 3.001 et y = 2.514
f(x,y) = 32,05 01 14

Mais ça ne suffit pas : comment faire avec les signes de x et y ? Parce que la technique précédente donne les mêmes résultats avec +/-x et +/-y...

Par exemple tu ajoutes un chiffre devant : 1 si x et y positifs, 2 si x et y négatifs, 3 si x positif et y négatif, 4 sinon.
Avec l'exemple précédent :
f(x,y) = 1 32,05 01 14


Mais tu es certain de perdre la surjectivité en faisant ainsi, car tu n'atteins que des nombres commençant par 1, 2, 3 ou 4.... tu n'atteindras jamais non plus 0....

[Upium666]

Mince alors, merci d'avoir relevé cette erreur

[Upium666]

Ah non surtout pas de bricolages avec les décimales

Je ne trouve que ça sur le net !

Cantor et Dedekind se sont amusés à ça

Je cherche autre chose mais effectivement vous avez bien vu que je cherche une fonction à deux variables bijective

Nous avons un long chemin à faire (s'il existe !)

[ParentEZ]

Je viens de relire tes messages précédents et notamment ça :

ne peut-on donc pas passer de Q à R ?

NON !

Notamment avec des arguments de dénombrabilité.
L’idée en simplifie : tu as une infinité d’éléments dans Q, mais tu peux tous les numéroter et les ranger, parce que tout élément de Q peut s’écrire sous forme d'une fraction irréductible.
Dans R, ce n'est plus possible, tu as "trop" d’éléments si je peux m'exprimer ainsi.

Apres je n'ai pas lu plus avant le lien que tu as envoyé, peut-être que ma remarque n'est pas pertinente...

[Upium666]

Si, votre remarque est légitime
Je me suis confronté à ce problème sur le net ...

J'en profite pour poser la question suivante :

Mis à part l'ensemble des parties de N, R est en bijection avec quel autre ensemble connu ?

[ParentEZ]

C'est une question un peu vague...
Par exemple tu peux faire une bijection entre R et un intervalle ouvert réel ]a ; b[, avec a et b éventuellement +/- l'infini.

[gg0]

est aussi en bijection avec l'ensemble des suites infinies ne contenant que des 0 et des 1. Avec l'ensemble des suites de réels de taille fixée. avec plein d'autres choses, mais pas avec l'ensemble de ses parties.

On étudie cela en théorie des ensembles, et aussi en analyse et théorie de la mesure.


Cordialement.