Une somme de gaussiennes peut elle être une gaussienne?

[gasteroman]

Bonjour à tous,

la question est dans le titre de ce topic : Une somme de gaussiennes peut elle être une gaussienne?
Comment le démontrer?
Il y a t il des articles à ce sujet?
Je ne trouve rien du tout....
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[minushabens]

Tu veux dire une somme de variables aléatoires? C'est bien connu, non? C'est toujours vrai si les v.a. sont indépendantes, et parfois vrai sinon.

[gg0]

Bonjour.

"Je ne trouve rien du tout"
En 10 secondes sur un moteur de recherche, avec "somme de gaussienne j'ai eu (deuxième proposition) ce cours qui donne (p 3 th 2-4) la réponse à ta question

[breukin]

Et si "gaussienne" est une fonction de type , on a peu de chance, dans le cas général, étant donnés , , et , de trouver et tels que :

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Effectivement.

Dans ce cas, la question est mal formulée. Mais la réponse est encore oui, avec , puisque la question est sur la possibilité.

Cordialement.

[Amanuensis]

Tu veux dire une somme de variables aléatoires? C'est bien connu, non? C'est toujours vrai si les v.a. sont indépendantes, et parfois vrai sinon.

Si c'est pour dire que la somme de deux variables aléatoires de densité de probabilité gaussienne et indépendantes est une variable aléatoire de densité de probabilité gaussienne en toute généralité, c'est faux.

(Dans ce cas il ne s'agit pas de la somme de deux fonctions gaussiennes, mais de leur produit de convolution ; mais le résultat n'en est pas plus automatiquement une gaussienne.)

[gg0]

Désolé, Amanuensis,

mais je ne comprends pas ton "en toute généralité". J'aimerais que tu précises, car le théorème apparaît dans de nombreux cours sur le sujet.

Cordialement.

[Amanuensis]

Il me semblait que c'était pas le cas si les écarts-type sont différents.

Mais je me suis trompé dans ma vérification.

Une autre vérification m'aurait montré le contraire: en passant par la transformée de fourier, puisque le produit de deux gaussiennes est une gaussienne. Sans compter les vérifs sur le web...

Autant pour moi. (Et cela va faire plaisir à quelqu'un, maladivement avide de ce genre de cas.)

[gg0]

Me voila rassuré.

Très cordialement.

[minushabens]

Il y a même une réciproque : le théorème de Cramér, qui dit que si X=Y+Z est gaussienne, et si Y et Z sont indépendantes, alors elles sont gaussiennes elles aussi (on a des résultats analogues pour la loi de Poisson parmi les lois sur les entiers).

[acx01b]

est-ce qu'on apprend le produit de convolution justement dans le chapitre sur les densités de proba ? (en 1ère année de fac ou de prépa ?)
il me semble qu'on apprend à écrire la densité de proba de la somme de deux v.a. indépendantes, mais on utilise pas le mot "convolution" et on approfondi pas trop, non ?

par exemple la fonction génératrice des moments c'est plutôt en 2ème voire 3ème année, non ? à peu près en même temps que le cours sur les transformées de Fourier ?

[gasteroman]

Merci pour vos réponses, je suis la discussion avec intérêt!
Je suis toujours étonné de lire qu'une somme de variables aléatoires indépendantes de distribution gaussienne a toujours une distribution gaussienne. Elle peut être bimodale comme par exemple dans l'image en pièce jointe.

[gg0]

Je ne peux pas encore voir ton document, mais il ne s'agit pas de tracer la somme de deux fonctions de répartitions (qui n'est même pas une fonction de répartition !), mais d'examiner la variable aléatoire somme.

Cordialement.

[minushabens]

@gasteroman : tu confonds somme et mélange. Ou alors quand tu parles de somme de deux gaussiennes tu parles de faire la somme des fonctions de densité? Ca ne correspond à rien de connu en probas. Si tu divises cette somme par deux tu obtiens la densité du mélange "50/50" de deux lois normales.

[gg0]

Donc je ne m'étais pas trompé,

il s'agissait bien de somme de fonctions de Gauss, qui généralement n'est pas une fonction de Gauss; pas de somme de variables aléatoires.
Ne pas confondre fonction de répartition de la somme et somme des fonctions de répartition.

Cordialement.

[gasteroman]

OK, merci pour ces éclaircissements. Donc je parlais de somme de fonctions gaussiennes, c'est à dire de densités de probabilité (c'est bien ça?).

[Tryss]

OK, merci pour ces éclaircissements. Donc je parlais de somme de fonctions gaussiennes, c'est à dire de densités de probabilité (c'est bien ça?).

Attention, une somme de densités de probabilités n'est pas une densité de probabilité

[gg0]

OK !

Si la question initiale est bien : "la somme de deux fonctions de Gauss peut-elle être une fonction de Gauss", la réponse est :
* Non, si, par "fonction de Gauss" on entend une densité de variable aléatoire gaussienne, Normale : L'intégrale, sur de la somme vaut 2, mais 1 pour une fonction de Gauss.
* Oui, si, par "fonction de Gauss" on entend une fonction de la forme , avec b>0 : la somme de 2 fonctions égales, ou plus généralement de deux fonctions ayant les mêmes valeurs pour b et c est encore de la même forme.

Cordialement.

NB : Je commence à m'attendre à une question encore plus précise, bien loin du vague de la question initiale.

[davidk_112]

La fonction de densité de probabilité peut être une somme de deux gaussiennes pourvu que cette somme soit normée. Après, si on considère des distributions bi-dimensionnelles, de toutes façons on passe par un produit des fonctions de distribution.

De façon général, toute fonction L^2 intégrable peut être utilisée comme une fonction de distribution. Il suffit que cette fonction soit normalisable sur ]-inf,+inf[. La question de la valeur de l'intégrale n'est pas importante en théorie des distributions, puisqu'on peut renormaliser la distribution à 1 pourvu que cette dernière soit intégrable comme je viens de le dire. Or les fonctions L^2 constituent un espace vectoriel, toute somme de fonction L^2 est dans L^2. Donc une somme de fonction de distribution peut très bien être une fonction de distribution contrairement à ce qui a été dit plus haut.

[Tryss]

De façon général, toute fonction L^2 intégrable peut être utilisée comme une fonction de distribution.

C'est faux : prendre la fonction qui vaut 1/x sur [1,+oo[ et 0 ailleurs. Et même une fonction parfois négative parfois positive mais intégrable ne donne pas une densité de probabilité (même normalisée)

[davidk_112]

Alors il faut ajouter « fonction L^2 définie positive continue et bornée ? »

[Tryss]

Alors il faut ajouter « fonction L^2 définie positive continue et bornée ? »

Ca ne suffit pas, et en plus dans ce cas tu oublies plein de densités.

L^2 n'est pas un bon espace pour définir les densités de probabilité