Un truc qui me titille depuis peu, parce que jusqu'ici je ne m'en étais pas préoccupé "proprement".
Quand on a une famille de groupes, on définit:
(1) le produit comme l'ensemble des familles avec , la loi de composition étant définie terme à terme;
(2) la somme directe comme presque pareil, sauf qu'on se limite aux familles à support fini, i.e. avec seulement un nombre fini d'éléments différents du neutre (de leur groupe respectif).
Bien sûr, c'est pareil si est fini. Et dans le cas général, est un sous-groupe de . Mais quel est l'intérêt? je veux dire, si on n'a pas de topologie en vue?
En relisant Serge Lang ("Algebra", LE classique) il me semble que ça a a voir avec la réalisation d'un groupe comme sous-groupe d'un groupe libre. Mais là encore, ça me paraît "beaucoup de bruit pour rien".
Une des différences est celle-ci :
Soit une famille de groupesz indicées par un ensemble I.
Existe-il un groupe G qui peut résumer les
Ceci peut prendre deux formes:
1) existe-t-il un groupe G et des surjections tels que pour toute famille de morphismes de groupes il existe telle que
La réponse est oui : le produit des
2) existe-t-il un groupe G et des injections tels que pour toute famille de morphismes de groupes il existe telle que
La réponse est oui (du moins si on se limite aux groupes H abéliens) : la somme des
Si I est infini, on ne peut pas envoyer dans la somme, et on ne peut pas envoyer du produit.
21/02/2006 - 17h42
fderwelt
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Re : Produit et somme directe de groupes
Envoyé par homotopie
Une des différences est celle-ci :
Soit une famille de groupesz indicées par un ensemble I.
Existe-il un groupe G qui peut résumer les
Ceci peut prendre deux formes: (...)
Autrement dit, le produit est un produit au sens des catégories, et la somme directe un coproduit? On dirait bien, en tout cas.
Là, ça devient plus clair!
Merci!
-- françois
21/02/2006 - 18h44
homotopie
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Re : Produit et somme directe de groupes
Oui le langage des catégories est plus simple (à condition de le connaître).
A faire attention tout de même je pense que la somme n'est pas un coproduit à proprement parler dans une catégorie car H doit être abélien contrairement aux
21/02/2006 - 19h27
fderwelt
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Re : Produit et somme directe de groupes
Envoyé par homotopie
Oui le langage des catégories est plus simple (à condition de le connaître).
A faire attention tout de même je pense que la somme n'est pas un coproduit à proprement parler dans une catégorie car H doit être abélien contrairement aux
Bien sûr. Mais si on a en tête que c'est une sorte de coproduit, même avec des restrictions, ça devient tout de suite plus satisfaisant (car plus symétrique!).
Je ne suis pas fana-fana de mettre des catégories partout, mais c'est vrai que ça pemet souvent de clarifier les choses, en tout cas au niveau de la rigueur. J'ai en tête les coalgèbres, avec comultiplication, co-unité et tout le toutim, et si on ne pense pas que la multiplication est une application bilinéaire (donc linéaire sur le produit tensoriel) et à en prendre la transposée...
en termes de propriétés universelles : soit une famille de groupes.
Produit
Soit un groupe et une famille de morphismes : il existe une et une seule application telle que les diagrammes
commutent pour tout .
Somme
Soit un groupe et une famille de morphismes : il existe une et une seule application telle que les diagrammes
commutent pour tout .
Cordialement.
PS: mimetex ne reconnaît pas \coprod.
« Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
23/02/2006 - 08h09
fderwelt
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Re : Produit et somme directe de groupes
Merci, martini_bird.
Mais ça, c'est la définition d'un produit et d'un coproduit! La seule chose chiffonante, c'est que la somme directe doit être abélienne, même si les groupes de départ ne le sont pas. Ce n'est donc pas un coproduit dans la catégorie AbGrp, même si ça y ressemble plus que très beaucoup...
-- françois
P.S. - Je me refuse à noter simplement Ab la catégorie des groupes abéliens. AbGrp, c'est plus parlant. Je trouve. Moi. Personnellement. Et puis, je vais pas l'appeler Hortense?
23/02/2006 - 09h31
martini_bird
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Re : Produit et somme directe de groupes
Ok merci,
j'ai pioché ça dans le Zisman Mathématiques pour l'agrégation, mais en effet c'est dans un cadre commutatif. Je n'ai pas vu la subtilité.
Il y a une propriété universelle pour la somme?
Cordialement.
« Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
23/02/2006 - 10h27
homotopie
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Re : Produit et somme directe de groupes
Envoyé par fderwelt
Merci, martini_bird.
Mais ça, c'est la définition d'un produit et d'un coproduit! La seule chose chiffonante, c'est que la somme directe doit être abélienne, même si les groupes de départ ne le sont pas. Ce n'est donc pas un coproduit dans la catégorie AbGrp, même si ça y ressemble plus que très beaucoup...
-- françois
Tu dois avoir écrit trop vite.
1) La somme est un coproduit dans AbGrp, la restriction qu'on n'envoie que dans les groupes abéliens n'est alors plus gènante.
2) "La somme directe doit être abélienne" (peu clair). La somme n'est abélienne que si tous les Gi le sont. Les immersions de Gi et Gj commutent (comme dans le produit).
C'est dans la catégorie Grp que la somme, n'est pas un coproduit en toute rigueur.
J'ai regardé quelle tête pouvait avoir un coproduit dans cette catégorie. Une chose est sûre :c'est pas beau même si ça existe.
23/02/2006 - 18h34
fderwelt
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Re : Produit et somme directe de groupes
Re-re- et -re merci à martini_bird et à homotopie!
La somme directe est (IMHO) un peu comme le coproduit dans la catégorie Ens des ensembles. Le coproduit (= union disjointe) de plusieurs fois le même ensemble est effectivement très moche à décrire. Mais il faut bien distinguer ces plusieurs exemplaires: sinon, l'union ne serait pas disjointe!
C'est à mon avis l'un des principaux apports de la théorie des catégories! Pouvoir s'abstraire des représentations " concrètes" des notions: par exempmle, il n'y a pas lieu de faire la différence entre {a,b,c} et {x,y,z}. Voir un autre post sur ce forum: si A est un anneau et X,Y des indétermnées, an quoi A{] est-il différent de A[Y]?
Il y a une exlpication claire en logique catégorique. Mais, il est vrai, un peu disproportionnée pour l'usage courant.
-- françois
p.S. - Je viens de me relire, et j'ai corrigé pas mal e fautes de frappe. Mais je sors de l'hosto, et suis encore sous le coup d'une anesthésie locale.... désolé!
23/02/2006 - 18h38
martini_bird
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Re : Produit et somme directe de groupes
Envoyé par fderwelt
p.S. - Je viens de me relire, et j'ai corrigé pas mal e fautes de frappe. Mais je sors de l'hosto, et suis encore sous le coup d'une anesthésie locale...
Bon rétablissement!
« Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
23/02/2006 - 18h48
fderwelt
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Re : Produit et somme directe de groupes
Envoyé par martini_bird
Bon rétablissement!
Merci! Mais rien de grave, juste deux points de suture... ça suffit à brouiller ma vision du clavier!
-- françois
23/02/2006 - 19h13
fderwelt
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Re : Produit et somme directe de groupes
Envoyé par homotopie
Tu dois avoir écrit trop vite.
1) La somme est un coproduit dans AbGrp, la restriction qu'on n'envoie que dans les groupes abéliens n'est alors plus gènante.
2) "La somme directe doit être abélienne" (peu clair). La somme n'est abélienne que si tous les Gi le sont. Les immersions de Gi et Gj commutent (comme dans le produit).
C'est dans la catégorie Grp que la somme, n'est pas un coproduit en toute rigueur.
J'ai regardé quelle tête pouvait avoir un coproduit dans cette catégorie. Une chose est sûre :c'est pas beau même si ça existe.
Tu as répondu pendant que je tapais... Bien évidemment, il n'y a aucun problème tant qu'on reste dans AbGrp. Mais pourquoi la somme directe doit-elle être abélienne, mises à part toutes qestions de confort??? Je suis d'accord qu'un coproduit de groupes quelconques est moche, et alors? ça veut dire qu'on doit utiliser un foncteur pour passer du coproduit (dans Grp) à un pseudo-coproduit (dans AbGrp) -- je veux bien, mais qu'on m'explique pourquoi ça en vaut le prix:!
-- françois
23/02/2006 - 23h57
homotopie
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Re : Produit et somme directe de groupes
Envoyé par fderwelt
p.S. - Je viens de me relire, et j'ai corrigé pas mal e fautes de frappe. Mais je sors de l'hosto, et suis encore sous le coup d'une anesthésie locale.... désolé!
Je te souhaite aussi un bon rétablissement.
Je pense avoir mieux compris ce qui te géne (cette définition "hors catégorie"). Malheureusement je n'ai jamais manié que le produit, bien que connaissant la somme. Je pense me rappeler en séminaire que dans certains problèmes il faut utiliser la somme et non le produit, mais à quel propos?? ça fait vieux (surtout quand on ne l'a pas manipulé soi-même).
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de groupes, on définit:
comme l'ensemble des familles
avec
, la loi de composition étant définie terme à terme;
comme presque pareil, sauf qu'on se limite aux familles à support fini, i.e. avec seulement un nombre fini d'éléments différents du neutre (de leur groupe respectif).
est fini. Et dans le cas général,
est un sous-groupe de
. Mais quel est l'intérêt? je veux dire, si on n'a pas de topologie en vue?
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