logarithme et entier naturel

[invite298f4897]

Bonjour à tous,

ma question est peut être un peu bête...
mais bon je la pose quand même.

je pense qu'il n'existe pas d'entier naturel p (différent de 1) tel que ln(p) soit un entier naturel .

mais comment le démontrer?
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[GuYem]

Si ln p = q avec p et q entiers alors p = exp(q).

Or il me semble que pour qu'un nombre (ici e) élevé à une certaine puissance entière non nulle (ici q) soit entier, il faut que le nombre de départ soit entier.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Juste une suggestion :
Si ln(p) = k, alors exp(k) = p
Or

Et je suis sûr qu'on peut jouer avec cette expression pour montrer que exp(k) est irrationnel, en s'inspirant de la preuve que e est irrationnel.
Un truc du type :

Faut quand même vérifier cette inégalité, mais après, ça doit impliquer ce qu'on veut.

EDIT : C'est vrai ce truc, Guyem ?
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rvz

[GuYem]

Euuuh je sais pas si c'est vrai !

Mais je vois pas comment en multipliant un truc pas entier par lui-même un certain nombre de fois on pourrait tomber sur un entier...
Attention des fois je dis des bétises

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite298f4897]

merci rvz je pense que ta démonstration doit marcher.

[invite6b1e2c2e]

D'accord, dis moi si elle marche vraiment si un jour tu l'écris.
Sinon, je serai curieux d'avoir un commentaire d'un arithméticien sur le sujet (théorème ?) évoque par Guyem.

__
rvz

[martini_bird]

Sinon, je serai curieux d'avoir un commentaire d'un arithméticien sur le sujet (théorème ?) évoque par Guyem.

Salut,

Théorème de Gelfond-Schneider.

Mais c'est un peu le bulldozer pour ouvrir une noix...

Cordialement.

[martini_bird]

Plus simple: si était rationnel avec p entier, alors e serait algébrique.

[invite6b1e2c2e]

Je comprends pas Martini !

Les hypothèses de Gelfond Schneider ne sont pas vérifiées ici, ou bien je craque complétement ?
De plus,ça doit être plutot compliqué de montrer que e n'est pas algébrique...

__
rvz

[A1]

Salut !
Veuillez excuser mon ignorance ... mais qu'est ce qu'un nombre algébrique ?

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A1

[invite0d472bbe]

Salut !

Un nombre algébrique est un nombre qui est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers.

[martini_bird]

Je comprends pas Martini !

Les hypothèses de Gelfond Schneider ne sont pas vérifiées ici, ou bien je craque complétement ?

Non tu ne craques pas, je suis parti un peu vite.

De plus,ça doit être plutot compliqué de montrer que e n'est pas algébrique...

Oui ce n'est pas trivial: théorème de Hermite (1873). Mais pour le problème posé, on n'a bien sûr pas besoin de tout ça.