Bonjour,
Voila je bloque complètement face à une exo qui me demande d’établir les assertions suivantes:
1) Soit A une partie compacte d'un espace vectoriel normé E.
Alorsn'est pas nécessairement compact de E.
2) Soit A une partie compacte d'un espace vectoriel normé E de dimension finie.
Alors
3) Soit A une partie connexe par arcs d'un espace vectoriel normé E.
Alors
Merci pour toute aide
Je suppose que B' désigne la boule fermée?
Pour 1) tu peux même prendre A={a} un singleton.
Pour 3) c'est facile de construire un arc qui joint un point d'une boule à un point d'une autre boule.
Oui B' désigne la boule fermée
Pour 1) Si je prends la boule B'(a,1), qu'est ce qui m'affirme qu'elle peut ne pas être compacte ?
Bonjour,
Il suffit de construire un exemple d'espace vectoriel normé de dimension infini (en choisissant bien la norme), et d'exhiber une suite sans valeur d'adhérence dans la boule considéré.
En dimension infinie elle n'est jamais compacte. C'est facile de construire une suite qui n'a pas de point d'accumulation.
Je considère donc A compact de K[X]
Et N la norme infinie sur K[X]
Mais comment construire une suite de B qui n'admet aucune valeur d’adhérence ?
Je n'ai vraiment aucune idée !!
Déjà, il faut connaitre la suite "de base" qui n'a pas de valeur d'adhérence : celle des monômesEnvoyé par jojoxxp4
Je considère donc A compact de K[X]
Et N la norme infinie sur K[X]
Mais comment construire une suite de B qui n'admet aucune valeur d’adhérence ?
Je n'ai vraiment aucune idée !!
1, X, X^2, X^3, X^4,...,X^n, ...
Tout ses termes sont de norme 1, donc dans la boule unité de centre 0 et de rayon 1, mais la distance entre n'importe lequel de deux de ces polynômes est égale a 2
Ensuite il te suffit de prendre un point a dans A, et simplement de considérer la suite a+1,a+X,a+X^2,...
Je dirais que la distance entre n'importe lequel de deux de ces polynômes est égale a 1 si l'on travaille avec la norme uniforme, mais peu importe 1 ou 2 puisque l’idée est ici de montrer qu'il est impossible de trouver une sous-suite convergente de la suite (Xn)n et donc 2 termes de la suite qui se rapprochent l'un vers l'autre à l'infini! (N'importe quels 2 termes seront toujours séparés par une distance égale à 1)
Si je considère la suite a+1, a+X, a+X^2,... j'ai bien que a+1, a+X, a+X^2,... ∈ B'(a,1) ⊂ B et j'ai aussi que de cette suite il est impossible d'extraire une sous-suite convergente alors B n'est pas compact étant donné qu'il existe une suite de laquelle on ne peut pas extraire une sous-suite convergente.
Est-ce correct ce que j'ai compris ?
