Nombres complexes et application

[sebgra]

Bonsoir,

Je me permet de vous soumettre un problème concernant les nombres complexes; en effet voila 2 jours que je tourne en rond sur une question qui parait pourtant facile, voici l'énoncé:

On pose P(z)=(Z+(1/Z))²+ (Z+(1/Z))-1

1) Démontrer que si Z est un complexe de module 1, alors P(Z) est réel : à priori pas de problème

2 Soit Z différent de 1, montrer que Z²*P(Z)=(1-Z⁵)/(1-Z)

J'ai beau chercher je n'arrive pas à ce résultat au miuex je prouve P(Z)=P(Z), j'ai tenté de développer le tout,j'obtiens Z²*P(Z)=Z⁴+Z³+Z²+Z+1
j'ai beau factoriser par Z, Z², 1/Z, en partant de la forme à trouver je n'avance pas, c'est pourquoi je me permet de faire appel à vos lumières pour une piste
merci d'avance et bonne soirée
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[indian58]

Z4+Z3+Z2+Z+1 somme géométrique.

[sebgra]

Bonjour,

Tout d’abord merci pour cette piste, je pense avoir compris, mais je reconnais que l’idée d’introduire une suite dans un exercice de ce genre ne me serai jamais venu à l’esprit! D’ailleurs il va falloir que je trouve la bonne rédaction
Merci encore pour la piste

[Médiat]

Bonjour,

Comme on vous demande :

montrer que Z²*P(Z)=(1-Z⁵)/(1-Z)

Comme on sait qu Z != 1, Il vous reste à montrer (Z⁴+Z³+Z²+Z+1) (1-Z) = (1-Z⁵) ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[sebgra]

J’avais justement procédé de la sorte au départ et suis arrivé à (1-Z5)=(1-Z5), seulement j’ai douté de la méthode étant donné qu’a partir de cette inégalité l’équivalence est rompue et l’on ne peut pas remonter le raisonnement, cependant je fini par me demander si j’ai eu raison d’en douter
En résumé : (1-Z5)=(1-Z5) <=> Z2×P (Z)= (1-Z5)/(1-Z) cette équivalence est elle juste ou il ne s’agit que d’une implication ?

[Médiat]

Avec la précision Z != 1, c'est bien une équivalence.

[sebgra]

Ah oui exact, le petit détail qui fait toute la différence
Merci pour toutes ces astuces

[sebgra]

Re bonjour,
Je me permet de solliciter vos lumières encore une fois pour la question1/ en prenant en compte le fait que mod (z)=1=z*zbarre en en réalisant p (zbare) =(zbarre)^2 +2 +1/(zbarre)^2 +zbarre +1/(zbarre) -1 je n’arrive à rien de concret ...
Merci d’avance

[gg0]

Si |Z|=1, alors Z et 1/Z sont des conjugués (prouve-le) donc leur somme est ...

Cordialement.

NB : En posant Z=a+ib et remplaçant dans P(Z), on y arrive aussi. Il faut simplement faire le calcul.