Bonjour.
Quelqu’un aurait-il une idée, une piste, pour trouver une fonction g telle que gog=ln ?
J'ai testé en manipulant des expressions avec des propriétés de ln et exp un peu comme je pouvais, en intégrant, dérivant, mais bon, rien ... =)
Merci beaucoup !
Bonsoir,
As-tu essayé en écrivant g sous la forme d'une série entière ? Il est peut-être possible de trouver une relation de récurrence sur les coefficients d'un tel développement. C'est juste une idée lancée en l'air, je dois avouer ne pas avoir le courage de faire les calculs
If your method does not solve the problem, change the problem.
Ah oui j'ai essayé ça, c'est rapidement dégueu mais je m'y prends probablement mal. ^^
Déjà il en existe une infinité : je suppose que tu la souhaite continue voire dérivable, ça limite déjà pas mal.
On peut déjà regarder les choses de façon plus qualitative :
1) g n'admet pas de point fixe
2) gog va (au moins) de ]0, +oo[ dans ]-oo,+oo[, donc g va de ]-a, +oo[ dans ]-oo,+oo[
3) si g continue, lim (x->0+) g(x) = +/-oo, car lim g(g(x)) = -oo, donc g n'est pas continue sur R (premier résultat)
Dernière modification par Tryss ; 03/11/2014 à 07h27.
Salut,
Je pense que ce n'est pas toujours possible.
Par exemple trouver gog=-x peut se faire que dans les complexes et me semble-t-il est impossible sur R.
C'est tout à fait possible, ça ne serra juste pas continu.Envoyé par 1.est.1.si.je.veux
A chaque réel on associe un unique autre réel positif (par l'axiome du choix). On a donc des couplesde nombres positifs qui "couvrent" R+ tout entier. On pose alors :
Et g(0) = 0
Et on a bien défini ainsi une fonction de R dans R qui vérifie gog = -Id
Continue par morceau ça serait chouette. Mais même sans ça, comment sais-tu qu'une g existe ?
Qualitativement j'ai fais ça, je me suis aussi dis que g(ln(x))=ln(g(x)) donc g(x)=exp(g(ln(x))) mais je ne suis parvenu à trouver aucune valeur ni allure ni quoi que ce soit (probablement par absence d'unicité comme tu as l'air de dire).
je ne comprend pas pourquoi avoir basculé sur g°g(x)=-x.
pour revenir à la question initiale.
choisissons de chercher un g positif continu et croissant défini sur un intervalle à déterminer ( par exemple [e,+oo[ )
essayons g(x)=ln(x)
alors g°g(x)=ln(ln(x)) < ln(x) donc g est insuffisant
essayons g(x)=xln(x)
alors g°g(x)=xln(x)*ln(xln(x))= xln²(x)+xln(x)ln(ln(x)) > ln(x) dans l'intervalle proposé.
donc si g existe alors
ln(x)<g(x)<xln(x)
bon, je sais, je n'avance pas beaucoup avec ça.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
pardon, on a même plus simplement
ln(x)<g(x)<x
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Je ne pense pas qu'il y ait de solution continue.
gog(x)=ln(x)
soit a / g(1)=a et g(a)=0 car gog(1)=0
Nécessairement a <>1
soient b et c / g'(1)=b et g'(a)=c
alors au premier ordre : gog(1+x) = ln(x) ~ x
et gog(1+x) ~ g(a+b.x) ~ b.c.x
Donc c=1/b
g'(1)=1/g'(a)
Ce que je veux montrer c'est qu'en créant un double développement en série de g autour de :
g(1+x) et g(a+h) (avec a<>1)
les termes seront tous liés, et le développement en série de g(a+h) sera entièrement dépendant de celui de g(1+X)
Je ne suis pas allé jusqu'à monter que ces 2 développements en série sont nécessairement incompatible, mais ca me parait vraissemblable.
Je suppose qu'il y a des manières plus élégantes pour la démonstration, mais les classes prépas, ca commence à faire loin pour moi
c'est pourquoi j'ai évité 1 ou autour et que je me me suis placé ds [e,+00[ pour éviter ce soucis.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Une construction purement formelle avec l'axiome du choix.
Je prend un x dans R+*, et je considère la suite définie par :
On remarque ensuite qu'on peut "remonter" d'un cran la suite, en posant
On a donc obtenu une partie
Ensuite on choisi un y qui n'est pas dans
On pose alors
Puis avec l'axiome du choix, on réitère ce procédé en choisissant les éléments en dehors de l'union des
C'est gagné
PS : il se peut que j'ai dit une grosse bourde, ou qu'il y ai un trou dans cette construction
Dernière modification par Tryss ; 03/11/2014 à 19h41.
Cela semble facile (sans axiome du choix ou non au choix) pourrais tu faire cela avec cette permutation :C'est tout à fait possible, ça ne serra juste pas continu.
A chaque réel on associe un unique autre réel positif (par l'axiome du choix). On a donc des couples
Et g(0) = 0
Et on a bien défini ainsi une fonction de R dans R qui vérifie gog = -Id
trouver g tel que (-1 1)=gog avec (-1 1) la fonction réel qui ne change que -1 et 1 en les permutants.
Dernière modification par 1.est.1.si.je.veux ; 03/11/2014 à 19h41.
Ça n'est pas possible : si on note f(1) = a et f(-1) = b, alors f(a) = b et f(b)= a. Ce qui faisait marcher le truc, c'est qu'on pouvait grouper les nombres par 4.
Enfin bon, c'est un peu HS
Pourrais tu m'expliquer ta première solution car tu parts de la fonction bijective qui va de R->R+ (j'admet qu'il peut en exister)x->bar(x) ?Ça n'est pas possible : si on note f(1) = a et f(-1) = b, alors f(a) = b et f(b)= a. Ce qui faisait marcher le truc, c'est qu'on pouvait grouper les nombres par 4.
Enfin bon, c'est un peu HS
Comment à partir de là tu construis g ?
PS : je suis prêt à ouvrir un autre fil si tu trouves mon propos hs ici.
c'est le point sur lequel j'ai une question ( en toute humilité )Puis avec l'axiome du choix, on réitère ce procédé en choisissant les éléments en dehors de l'union des
couvres t-on l'ensemble R+ avec une union d'ensemble dénombrable ?
et si oui, comment "finir" cette couverture .
dit naievement, comment reste -il un "dernier" ensemble dénombrable.
je m'exprime mal, mais je pense que tu saisi ma question.
EDIT: oublie la seconde partie, puisque qu'on crée un algorithme à l'inf.
Dernière modification par ansset ; 03/11/2014 à 20h28.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Bonsoir,
il suffit d'en avoir assez (même avec des ensembles finis, même de cardinal borné)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Non, en gros, je découpe R en sous ensembles de cardinal 2, et ma fonction barre, c'est celle qui a chaque élément de R fait correspondre l'autre élément de son ensemble. (donc barre barre = Id)
Et ensuite je pose g(x) = x barre si x est positif et -x barre si x est négatif
la fonction opposé sur les ensembles {x,-x} x<>0 correspond aux conditions que tu imposes à ta fonction barre.
Mais pourtant on obtient alors g(x)=-valeur absolue(x) et donc on n'a pas g o g=-id?
Oui, il faut effectivement choisir x barre différent de -x (c'était dit dans mon premier message).
Dans ce cas là on fait avec la fonction x->-1/x qui n'est pas la fonction opposée, {x,-1/x} x<>0 et alors cela ne marche pas et donne g o g = -valeur absolue aussi....
Il me semble que l'on peut se passer de AC : à un nombre réel x on associe son signe et le reste modulo 2 de sa partie entière et g change le reste à chaque fois, et le signe seulement si le reste est 1, c'est à dire :C'est tout à fait possible, ça ne serra juste pas continu.
A chaque réel on associe un unique autre réel positif (par l'axiome du choix). On a donc des couples
Et g(0) = 0
(+, 0) -> (+, 1) -> (-, 0) -> (-, 1) -> (+, 0)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ooops, cela ne marche pas à cause du 0
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pour construire une bijection b entre R+* et R sans l'action du choix il suffit :
b(x)=-1/x si 0<x<=1.
b(x)=x-2 si x>=1.
Remarque il est impossible de construire une bijection entre 2 intervalle de types différents sans l'axiome du choix me semble-t-il.
Par exemple R+=[0;+infini[ et R=]-infini;+infini[ sont de deux types différents.
Les types étant ouvert, fermé, semi-ouvert=semi-fermé.
Certes, mais ce n'est pas ce que je cherchais
Est-ce que la fonction
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci, il semblerait que je me sois tromper.Certes, mais ce n'est pas ce que je cherchais
Est-ce que la fonction
polf : Hey c'est super ! Comment fais-tu ? Parce que j'ai essayé de caractériser un DSE de g mais je ne suis arrivé qu'à des trucs pas propres donc ça m'intéresse ^^
J'ai fait les calculs avec derive6
Cela donne pour le développement en série :
J'ai fait le calcul numérique pour l'ordre 3.
Mais j'ai cherché un calcul plus général, pour récurrence, ou brutal, pour définir une fonction de taylor d'ordre quelconque, et très vite, les calculs deviennent ingérables.
En conclusion, je dirais que le développement en série existe bien pour g(x), mais que le calcul des coefficients de la série n'a rien de trivial, voire même est mission impossible pour un ordre quelconque.
Enfin, n'hésite pas si tu as des questions.
