Polynômes pemiers

[invitedb34050e]

Bonjour,
svp pourquoi si P1,P2,.....,Pk+1 sont premiers deux à deux alors Pk+1 est premier au produit de polynômes (P1P2.....Pk) ?
Merci
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[invite37083ed2]

Être premier avec équivaut à "n'avoir aucune racine commune" =).
Car si A et B dans K[X] non premiers entre eux alors pgcd(A,B)=P différent de 1, donc on prend une racine de P (on peut raisonner dans la clôture algébrique du corps K), c'est une racine commune à A et B.
Et si A et B ont une racine commune x alors il existe P et Q tels que A=P(X-x) et B=Q(X-x) donc ils sont tous deux multiples de (X-x) donc non premiers entre eux.

[inviteea028771]

Être premier avec équivaut à "n'avoir aucune racine commune" =).
Car si A et B dans K[X] non premiers entre eux alors pgcd(A,B)=P différent de 1, donc on prend une racine de P (on peut raisonner dans la clôture algébrique du corps K), c'est une racine commune à A et B.
Et si A et B ont une racine commune x alors il existe P et Q tels que A=P(X-x) et B=Q(X-x) donc ils sont tous deux multiples de (X-x) donc non premiers entre eux.

Mouai, autant décomposer chaque polynôme en produit de polynômes irréductibles unitaires: deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement si et seulement si les polynôme en commun dans leur décomposition sont inversibles. le résultat est alors immédiat

Parce qu'aller chercher la clôture algébrique, c'est un peu disproportionné

[invite37083ed2]

T'inverses, je scinde, aucune différence de complexité ^^. Et scinder a un côté plus visuel, je préfère.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Victor.S,

qui a dit que ce sont des polynômes sur un corps ?

Cordialement.

[Amanuensis]

Bonjour,
svp pourquoi si P1,P2,.....,Pk+1 sont premiers deux à deux alors Pk+1 est premier au produit de polynômes (P1P2.....Pk) ?
Merci

Commencer par étudier le cas de trois polynômes.

Pi et Pj premiers entre eux => il existe et tels que

On cherche A et B tels que ...

[invite37083ed2]

gg0 : Oui j'avais pas vu ça comme ça.
Okay donc en effet ma solution n'est pas minimale.