Bonjour a tous,
je cherche a montrer que k est impair Ssi k^3 est impair.
Cependant je bloque a un endroit, voila comment je commence:
Soit k appartient aux entiers naturels:
Supposons k impair:
Il existe n appartenant aux entiers naturels tel que k=2n+1
On en déduit k^3=(2n+1)^3=8n^3+3n^2+3n+1
Et la je ne sais pas comment prouver que ceci est impair ... Si vous pouviez m'aider svp !
Si tu connais la décomposition en facteurs premiers le résultat est immédiat, mais en supposant que tu ne la connais pas, tu peux peut-être faire une récurrence.
Tu supposes que c'est vrai pour un certain k et tu montres que c'est vrai pour k+2 (le prochain nombre impair).
Bonsoir,
k^3=(2n+1)^3=8n^3 + 3(n(n+1)) + 1
Etudiez la parité de chaque morceau
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci a vous deux pour vos réponses rapides
Mais le plus simple est d'utiliser le lemme d'Euclide, qui dit que si un nombre premier p divise un produit ab, alors p divise au moins l'un des deux facteurs (il peut diviser les deux). Comme ça tu peux démontrer par récurrence que si k est impair alors toute puissance k^p (p>0) est impaire.
Je suis désolé mais je en vois pas vraiment comment faire avec le lemme d'Euclide ..
Pourriez vous me guider un tout petit peu plus ?
(je ne demande pas la solution entiere, il faut aussi que je reflechisse ^^)
Suppose k^p pair ...
Autre façon :
_Si k est paire , toute puissance de k est pair
_k+1 est impair
_(k+1)3 =k3 + 3k2 + 3k +1
Les trois termes en rouges sont pairs , leur somme aussi et ajouté à un ça donne un nombre impair .
Merci Dynamix, j'avais fait une technique un peu similaire mais la tienne est meilleure, je pense garder ta technique, car elle est assez simple
Merci dinamyx et gg0, et désolé pour le doublon ...
Dernière modification par lajoiedesmaths ; 15/11/2014 à 22h55.
Tu peux généraliser le raisonnement de Dynamix à une puissance quelconque si tu remarques que dans le développment de (k+1)^n k est en facteur dans tous les termes sauf le dernier qui est 1. Mais le fond de la question c'est que le produit de deux nombres impairs est impair, ce que tu peux voir par le lemme d'Euclide.
J'ai posé le calcul général pour k^n sur ma feuille et j'ai enfin compris l'intérêt du lemme
Merci a tous pour vos solutions (et le temps passé à m'expliquer) !
