Probabilité

[Kavey]

Bonjour,

je vous écris aujourd'hui car j'aimerais savoir si mon raisonnement est correct.

Voici le sujet :
Dans un élevage de bovins, 3 bêtes A, B, C doivent vêler au cours d'une semaine donnée. On
admet que la probabilité pour que le vêlage de chacune des bêtes ait lieu un certain jour est la même quelque
soit le jour de cette semaine, et qu'il y a indépendance entre les vêlages des trois bêtes.
1. Quelle est la probabilité pour que les 3 vêlages aient lieu le même jour ? de la semaine ?
2. Quelle est la probabilité pour que 2, et 2 seulement des vêlages aient lieu le même jour ?
3. Quelle est la probabilité d'avoir au moins un vêlage le dimanche ?

1. Si l'on se base sur le fait que A vêle un jour donné, alors la probabilité pour que B et C vêlent également le même jour est p = (1/7) x (1/7) = (1/49) ~ 0,02.

2. Si l'on se base encore sur le fait que A vêle un jour donné, alors :
- soit A et B vêlent le même jour avec une probabilité p1 = (1/7) x (6/7)
- soit A et C vêlent le même jour avec une probabilité p2 = (6/7) x (1/7)
- soit B et C vêlent le même jour avec une probabilité p3 = (1/6) x (1/6)
Donc la probabilité que seulement 2 bovins vêlent le même jour est égale à p = p1 + p2 + p3 ~ 0,27.

3. On peut essayer de trouver la probabilité d'avoir au moins un vêlage le dimanche en partant de la probabilité qu'il n'y ait aucun vêlage le dimanche.
Ainsi, la probabilité qu'il n'y ait aucun vêlage le dimanche est égale à p1 = (6/7) x (6/7) x (6/7).
Donc, la probabilité qu'il y ait au moins un vêlage le dimanche est égale à p = 1 - p1 ~ 0,37.

Je vous remercie d'avance pour votre aide!
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[gg0]

Bonjour.

1) Autre façon de voir : la probabilité que les trois vêlent le lundi est 1/7*1/7*1/7. Comme il y a 7 jours possibles (événements incompatibles), on obtient 7*1/7*1/7*1/7=1/49.
2) En utilisant le même procédé, tu peux vérifier ton résultat. Il y a un problème dans ton explication : Si B vêle le même jour que A, C ne doit pas en faire autant.
3) Comment justifies-tu le fait de multiplier ?

Cordialement.

[Kavey]

Merci pour votre réponse.

Pour la question 2, est-ce seulement l'explication qui est mauvaise ou bien la probabilité trouvée? Si c'est seulement l'explication, je ne l'avais pas écris car c'était sous-entendu, mais en effet j'aurais peut-être dû le préciser.

Pour la question 3, je justifie le fait de multiplier car les vêlages sont indépendants entre eux. J'ai ensuite rapproché ce problème avec celui du dé où on peut chercher la probabilité de ne tirer aucune fois un nombre donné. Est-ce incorrect?

[gg0]

Pour le 3; ok.

Pour le 2, prends le temps de réfléchir à ce que je t'ai dit : C'est toi qui fais l'exercice. Tu dois pouvoir ramener chaque calcul à l'application d'une règle de probas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kavey]

J'essaye de voir où est ce que je peux avoir fait une erreur, mais je ne vois vraiment pas... Pourriez-vous me dire où se situe mon erreur?

[gg0]

Si tu n'es pas sûr de ton raisonnement, détaille-le complètement, sans utiliser des phrases floues comme la première. Ramène-toi aux règles de base des probas (univers, loi de proba, application des règles). Tu verras bien alors si tu peux le justifier complètement ou pas.

En tout cas, on ne peut pas vraiment dire qu'on fait des probas quand on est obligé de demander aux autres une vérification. On fait des essais de réponse.
Ma justification pour le 1 est basée sur une analyse simple de la situation. On peut totalement l'expliciter avec un univers à 343 événements élémentaires équiprobables.

Cordialement.

[Kavey]

En fait, j'ai déjà fait presque le maximum pour être précis, mis à part le fait que j'ai oublié un bout de phrase, mais je vais essayer d'être un peu plus explicite :

Si l'on se base encore sur le fait que A vêle un jour donné, alors :
- soit A et B vêlent le même jour, alors C ne peut vêler le même jour que A et à fortiori B. Donc la probabilité que B vêle le même jour que A est p1 = (1/7) et la probabilité que C vêle un jour différent de A et B est p2 = (6/7), donc la probabilité que A et B vêlent le même jour et C un jour différent est la probabilité p = p1 x p2 = (1/7) x (6/7)
- soit A et C vêlent le même jour, alors B ne peut vêler le même jour que A et à fortiori C. Donc la probabilité que B vêle un jour différent de A et B est p1' = (6/7) et la probabilité que C vêle le même jour que A est p2' = (1/7), donc la probabilité que A et C vêlent le même jour et B un jour différent est la probabilité p' = p1' x p2' = (6/7) x (1/7)
- soit B et C vêlent le même jour, alors A ne peut vêler le même jour que B et à fortiori C. Donc la probabilité que B vêle un jour différent de A et B est p1" = (6/7) et la probabilité que C vêle un jour différent de A mais le même jour que B est p2" = (1/6), donc la probabilité que B et C vêlent le même jour et A un jour différent est la probabilité p" = p1" x p2" = (6/7) x (1/6)
Donc la probabilité que seulement 2 bovins vêlent le même jour est égale à P = p + p' + p" ~ 0,388.

Je viens de remarquer que peut-être mon raisonnement était faux pour le 3ème cas... Ainsi j'ai corrigé en conséquence.

[gg0]

Quel raisonnement pourrais-tu faire qui évite de se dire "si je le reprends une troisième fois, je vais peut-être trouver encore une erreur" ? Un raisonnement moins élégant que ta supposition, mais qui traite entièrement la question avec des règles bien connue.
je te propose de commencer par définir un univers (ensemble des issues, des cas élémentaires) : Tu as trois dates de vêlage, sur 7 jours, donc il est logique de considérer que les événements élémentaires sont des triplets de jours. (Lu, Me, Lu) est un des cas possible, avec vêlage de A et C le même jour. Donc un cas favorable pour la question 2.
Ensuite, quelle est la loi de probabilité sur cet univers : L'équiprobabilité (pourquoi ?)
Maintenant, on a une règle très simple pour calculer la probabilité de l'événement, que ce soit à la question 1, la question 2 ou la question 3.

Bonne réflexion.

NB : A priori, tu n'as jamais donné de réponse précise, au 2, seulement des approximations. Ça rend difficile de dire "juste".
NBB : Tu peux facilement vérifier tes résultats de 1 et 2 en calculant le cas "3 jours différents" et en ajoutant les probabilités.