Congruence linéaire

[maxime10]

Bonjour à tous ,

J ai un petit souci avec cette équation 10x=6(mod18)

J arrive a x= 12 mod 18
Au lieu de 6 modulo 9
Je ne trouve pas mon erreur ...

Merci d avance
-----

[Médiat]

Montrez-nous vos calculs et nous pourrons vous dire où est l'erreur ...

[maxime10]

Donc je transforme
10x=6(mod18)
10x-6=18y et puis
10x-18y=6 où 10 est a,18 est m,6 est b

ensuite je cherche le pgcd de 10 et 18 qui est 2 car
18=1*10+8
10=1*8+2
8=4*2+0

2 divise 18 donc il y a des solutions

2=10-1*8
en multipliant par 3 on a 6=3*10-3*8 où 3 est X_0

X=X_0 + (t*m/pcgd(a,m)) = 3+18/2t=3+9t

les solutions distinctes modulo 18 sont :
x=3(mod18)


ou si je fais ainsi 5x-3=9y est égal a 5x+9y=3 le pgcd de 5 et 9 vaut 1 donc
1=5-1*4
3=3*5-3*1*4 où X_0 est le 3 qui multiplie 5
x=3+9t et donc x=3mod9

[OY1951]

Bonjour ,

Dans votre solution on relève 3 erreurs et plus exactement 2 erreurs ( puisque la troisième vous la répéter deux fois).
1ère erreur : 2 ne dois pas être diviseur de 18 mais de 6.
2ème erreur : vous vous êtes arrêté à mi-chemin pour l'algorithme d'Euclide étendu.
Pour réduire les erreurs plausibles (certains auteurs parlent d'étourderies ) je vous propose d'utiliser le schéma d'OURAGH
qui votre cas se résume comme suite ( pour l'équation 5x-9y=3)

.... 9.....5....4.....1
............1.....1
2....-1
d'où 5(2)+9(-1)=1 soit 5(6)-9(-3)=3 . Donc Gauss nous donne bien x=6+9k soit .......
Pour une maîtrise de ce schéma vous pouvez visionner http://www.youtube.com/results?search_query=bezout+03
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[OY1951]

Bonjour
il faut lire 5(6)-9(3)=3 au lieu de 5(6)-9(-3)=3

[maxime10]

Merci beaucoup.
Cette méthode qui m'était inconnue est très efficace.

[OY1951]

Bonjour M. maxime10,
Je vous informe que le schéma avec lequel on résout une équation diophantienne linéaire (plus exactement
recherche d'une solution particulière) est nouveau et que j'en suis l'auteur. Au risque que cela soit considérée
comme un publicité j'affirme qu'au moyen de ce schéma il est possible de résoudre de telles équations aussi
bien dans les cas des entiers relatifs que dans les cas des polynômes (largement rencontrées en
automatisme-asservissement, régulateurs RST).

Cordialement.

[OY1951]

Bonjour,
Par exemple la recherche de la solution particulière de l'équation
2274x+1566y=12 se fait sur le tableau suivant

......2274.....1566.....708... ..150.....108.....42......24.. ....18......6
...................-1.........-2.......-4........-1......-2.......-1......-1
..................-106......73......-33........7.......-5.......2.......-1......1

et donc
................... 2274(73)+1566(-106)=6
et alors il vient (car au second membre de l'équation proposée on a 12)
................... 2274(146)+1566(-212)=12
Je tiens à préciser que le schéma que je propose n'est qu'une méthode synthétique de l'algorithme
d'Euclide étendu.

Cordialement.

N.B. Si le médiateur Médiat ne considère pas que c'est de la publicité d'expliciter et surtout de justifier
........ce schéma je suis disposé à étaler ce que je sais faire avec.

[Médiat]

N.B. Si le médiateur Médiat ne considère pas que c'est de la publicité d'expliciter et surtout de justifier
........ce schéma je suis disposé à étaler ce que je sais faire avec.

Bonjour,

Si vous avez une démonstration valide pour une méthode qui se démarque suffisamment de l'algorithme d'Euclide et sans publicité pour un site ou un blog quelconque : allez-y.

Médiat

[OY1951]

Bonjour Médiat ,

Je prends acte de votre invitation mais néanmoins j'insiste sur l'affirmation suivante :
Mon schéma n'est qu'une méthode synthétique de l'algorithme d'Euclide étendu que
chacun verra qu'il se démarque de toutes les techniques que l'on utilise pour appliquer
cet algorithme. D'ailleurs chacun a déjà vérifié que le tableau précédent
....2274.....1566.....708.....
.................-106.....73... ..................
allège considérablement les calculs et est déjà donc une première preuve de ce que j'avance.
Je vous informe Médiat que la seule méthode je ferrai allusion plus tard est celle relative à
la méthode d'O.R. dont j'en suis l'auteur. Plus exactement une fois que j'aurai besoin de
cette dernière méthode je présenterai l'essentiel qui se résumera d'une part à la division euclidienne
entre deux polynômes (généralisation de la méthode de Horner-Ruffini et voir même la
division dans la méthode de Bairstow) et d'autres part à la multiplication de deux polynômes.

J'espère que l'ensemble des termes que j'ai utilisé dans ce message n'est en aucun cas en
contradiction les termes de la charte de ce forum.

Cordialement.