Un ensemble fini est-il toujours indénombrable ?

[Vador1397]

Bonjour =) =) =)

En prépa la définition suivante de "dénombrable" est utilisée :

un ensemble est dénombrable si et seulement si il est en bijection avec N


Dans ce sens, est-on d'accord qu'un ensemble fini est toujours indénombrable ?

Parce que si je prend un ensemble fini, par exemple {1,5,7}, je ne peux pas le mettre en bijection avec N


J'ai l'impression qu'on lit énormément d'erreurs à ce sujet sur beaucoup de forums (en particulier sur cette page : http://www.carabinsnicois.fr/phpbb/v...?f=317&t=27868
êtes-vous d'accords que les réponses apportées sur cette page sont toutes plus fausses les unes que les autres ? :P)

après peut-être que c'est parce que l'on peut prendre d'autres définitions de la dénombrabilité, par exemple en disant qu'un ensemble qui s'écrit sous la forme {Xn, n appartenant à N}, et dans ce cas l'exemple d'ensemble que je donnais est bien dénombrable (j'ai lu dans un bouquin que normalement on parle d'ensemble "au plus dénombrable" pour ça)


Bref... merci d'avance pour vos éclaircissements =) =)
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[Amanuensis]

En prépa la définition suivante de "dénombrable" est utilisée :

un ensemble est dénombrable si et seulement si il est en bijection avec N

Ah bon? Source?

[Médiat]

Bonjour,

Selon les auteurs "dénombrable" inclut ou non les ensembles finis ; cela n'a rien de fondamental, il faut juste faire attention à la définition utilisée.

Si on exclut les ensembles finis dans "dénombrables" chaque fois que l'on veut parler des ensembles infinis non dénombrables, on est obligé de préciser "infini non dénombrable"

[Vador1397]

amanuensis => ba le programme officiel tout simplement : http://prepas.org/ups.php?document=539

page 19 : "Un ensemble est dit dénombrable s’il est en bijection
avec N"



Médiat => ok alors on est d'accord qu'avec la définition de prépa les ensembles finis sont indénombrables =)
les messages que j'ai vus dans d'autres forums utilisaient probablement l'autre définition =)
Merci pour ta réponse =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

A noter que Wikipédia mentionne bien l'usage de 2 définitions différentes de "dénombrable".

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_d%C3%A9nombrable


Cordialement

[Amanuensis]

Certes, mais l'ambiguïté est plus étonnante de la part des profs en prépa. Les exemples que je trouve donnent "infini dénombrable" pour les ensembles en bijection avec N, et ne définissent pas "dénombrable".

[PlaneteF]

Si on exclut (...)

Bonjour Médiat,

Euh, ... l’ambiguïté elle est plutôt si l'on "inclut".

Cordialement

[Médiat]

Médiat => ok alors on est d'accord qu'avec la définition de prépa les ensembles finis sont indénombrables =)

Oui ; personnellement je préfère ranger les ensembles finis dans "dénombrables" plutôt que dans "non dénombrables", la cohabitation avec "infini dénombrable" me paraissant plus naturelle qu'avec "infini non dénombrable".

Encore une fois j'insiste : cela n'a rien de fondamental, ce n'est que du vocabulaire.

[Médiat]

Bonjour PlaneteF

Bonjour Médiat,

Euh, ... l’ambiguïté elle est plutôt si l'on "inclut".

Ce que je voulais dire c'est que si les ensembles finis sont "non dénombrables", chaque fois que je vais vouloir parler d'un ensemble de cardinal strictement plus grand que , je ne vais pas pouvoir me contenter de dire "ensemble non dénombrable", mais je vais devoir préciser "ensemble infini non dénombrable"

[Vador1397]

Amanuensis => ba ça me paraît normal si on prend cette définition de la dénombrabilité (<=> en bij avec N), parce que alors dénombrable implique infini, donc cela revient au même de définir "infini dénombrable" ou "dénombrable" =)


bon bon merci pour toutes vos réponses =)

[PlaneteF]

Ce que je voulais dire c'est que si les ensembles finis sont "non dénombrables", chaque fois que je vais vouloir parler d'un ensemble de cardinal strictement plus grand que \aleph_0, je ne vais pas pouvoir me contenter de dire "ensemble non dénombrable", mais je vais devoir préciser "ensemble infini non dénombrable"

Ah OK, ... j'avais interprété ton message dans l'autre sens possible, à savoir : [... je ne vais pas pouvoir me contenter de dire "ensemble infini" ...]

... d'où ma remarque

Cdt

[gg0]

Vador1397,

les deux options se justifient. A l'origine, dénombrer veut dire compter les éléments. On a étendu le comptage au cas où il ne s'arrête pas, mais est exhaustif (donc bijection avec une partie de N). mais compter les éléments d'un ensemble fini (en bijection avec [1;n] pour un entier n) est bien possible). Donc ce n'est qu'une question d'habitude. Ou de type d'usage. voir pourquoi Médiat préfère que les ensembles finis sont dits dénombrables et le fait que "non dénombrable" est presque toujours là pour signifier "de cardinal strictement supérieur à celui de N".

Cordialement.

[Vador1397]

Yes en effet la version de Mediat est plus intuitive =)

[Tryss]

Personnellement, je préfère aussi dénombrable = fini ou dénombrable. Ça me parait étrange qu'un ensemble dont on peut dénombrer les éléments ne soit pas dénombrable

Mais bon, ça n'est qu'une convention

[Ashrod]

Bonsoir,

Juste pour préciser la définition, ne pourrait-on pas dire "Ensemble dénombrable : Ensemble en bijection avec un sous-ensemble des naturels qui peut être de cardinal fini." ?

C'est juste une suggestion.

Merci

[PlaneteF]

Juste pour préciser la définition, ne pourrait-on pas dire "Ensemble dénombrable : Ensemble en bijection avec un sous-ensemble des naturels qui peut être de cardinal fini." ?

C'est juste une suggestion.

Bonsoir,

Tout cela est précisé ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_d%C3%A9nombrable

Cordialement

[Médiat]

Une autre façon de dire : E est dénombrable s'il existe une injection de E dans IN