Ensemble discret

[Pixin]

Bonjour, je dois montrer que : est dense dans R
J'ai montré qu'il était soit discret soit dense, mais comment conclure ? Je ne sais pas exactement ce que signifie un ensemble discret en fait...

Merci,
Pixin
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[Tryss]

Un ensemble est discret si tout ses points sont isolés : A est un ensemble discret si quelque soit x dans A, il existe un voisinage V de x tel que le seul point de A contenu dans V soit x.

Ici, il faut s'intéresser aux points proche de 0. Par exemple si tu arrives a trouver une suite de points de ton ensemble qui tend vers 0, ça voudra dire que ton ensemble n'est pas discret (puisque tout voisinage de 0 rencontrera une infinité de points de ton ensemble)

[Seirios]

Généralement, on montre quelque chose de légèrement plus fort pour les sous-groupes additifs de : ils sont soit denses soit de la forme pour un certain . Par conséquent, les sous-groupes discrets sont exactement de la deuxième forme, ce qui permet de montrer que ton ensemble n'est pas discret par irrationalité de .

[Pixin]

Ah oui merci Seirios c'es exact !
(Merci Tryss aussi bien entendu)
Cela signifie que si un sous-groupe additif de admet un élement alors il est dense ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Que penses-tu de ?

Cordialement.

[Pixin]

Je suppose que c'était plutôt mais oui tu as raison, j'ai tiré une conclusion plutôt hative
Dans ce cas, modifions un peu mon message précédent :
Tout sous groupe additif de admettant au moins un élément rationnel et un irrationnel est dense dans ?

[gg0]

Effectivement, c'est , je me suis laissé emporter

Pour ta proposition, démontre-la. Mais si tu ne sais pas faire ton exercice (cas particulier de cette propriété), je doute que tu fasses la cas général.

Cordialement.

[Pixin]

Finalement ma proposition découle directement du théorème sur les sous-groupe additifs démontrés précédemment non ?
Car si un sous groupe additif admet un élément irrationnel et un rationnel, alors il n'est pas de la forme (car si a est rationnel alors tout les éléments de l'ensemble sont rationnels et si a est irrationnel, ils sont tous irrationnels).
Donc il n'est pas discret de cette forme, il est dense.
(bon bien sûr cette démonstration n'est pas très rigoureuse, je suppose qu'une démonstration par l'absurde serait plus appropriée...)

[gg0]

Oui,

si tu admets le théorème énoncé par Seirios. Mais as-tu ce théorème dans ton cours ? car si ce n'est pas le cas, il va falloir le démontrer (sinon, tu ne fais pas ton exercice).

[Pixin]

Le but premier de l'exercice était de démontrer ce théorème, la petite question posée était juste une difficulté lors d'une application