Potentiel vecteur

[Isis-mirka]

Bonjour à tous,
j'ai un souci avec un exo et je pense que vous pourriez m'aider à résoudre mon problème.
Le voici:
Soit F un champ de vecteurs défini sur R³ par F(x,y,z)=( (1+x²)*phi(x), 2xy*phi(x), -3z) où phi est une fonction de R dans R.
il faut déterminer phi de manière à ce que F dérive d'un potentiel vecteur G et que phi(0)=0.

J'ai écrit qu'il fallait que rotationnel(F)=0 (avec les fleches dessus).
cela m'a mené à l'égalité:
dérivée par rapport à x de (2xyphi(x))=0 , et j'en ai déduis que phi(x)=constante/x, mais cela ne colle pas avec phi(0)=0.

quelqu'un aurait-il une idée ?

merci d'avance
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[momoyoyo10]

essayez de trouver une fonction de ce champ de vecteue telle que la differentielle de cette fonction vaut ce champ de vecteur avec des conditions initiales

[Isis-mirka]

je ne vois pas comment y parvenir. j'ai fais la meme méthode que mon cours (sauf erreur) pour résoudre l'exo mais je n'y arrive pas.
pourriez-vous être plus précis ?

merci

[Amanuensis]

On parle de potentiel vecteur, et pas scalaire. La condition c'est div F = 0, pas le rot.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Isis-mirka]

ok merci , je suis donc mal parti.
j'ai suivi votre conseil et j'ai trouvé une expression (apres résolution d'une équation différentielle du 1er ordre en phi(x)) hi(x)=constante*(1+x^2)^-2.

mais j'ai du me tromper car phi(0)=0 impose ma constante =0 , et donc phi(x)=0
aurais-je mal raisonné ?

merci d'avance

[Amanuensis]

Quelle est votre équa diff?

[Isis-mirka]

je vous ai donné la solution sans second membre, désolé.
voici ce que j'avais trouvé: phi(x)=3*(1+x^2)^(-2) / (4x)
voici l'équation:
4x*phi(x)+(1+x^2)*phi '(x)=3

[Amanuensis]

Je trouve comme solutions



et c=0 si phi(0)=0

[Isis-mirka]

j'ai du me tromper dans la résolution.
je vais recommencer
merci de votre aide