Transformée en Z et fonction de transfert.

[Kevin.dernoncourt]

Salut à tous!
Alors voila, j'ai un léger problème avec le dernier devoir de maths de mon année. Le devoir traite des "transformées en z". Tout va bien pour la majeure partie, cependant, j'arrive à deux exercices qui me posent problème:
Le premier, me demande d'étudier la transformée de "exp(t)". Je pensais que ce serait facile, cependant j'ai le facheux problème que cette fonction n'est pas dans le formulaire qui traite uniquement des fonctions de la forme a^(bn) avec a et b des relatifs. Donc je me pose la question de savoir ce que je suis censé faire dans cette situation, remarque c'est peut être tout bête mais je peux pas avancer sans savoir.

Le second exercice traite quant à lui des équations aux différences, avec méthode des trapèzes à gauche. J'ai un intégrateur à fonction causale et je dois alors écrire l'équation aux différences le régissant. On me donne les égalités suivantes:
f(nTe)=x(n)
F(nTe)=y(n)
et intégrale( [(n-1)Te->nTe] f(u)du= y(n)-y(n-1)

Grace à laméthode des trapèzes je note:
(Te/2) * [x(n)+ x(n-1)] = y(n) - y(n-1)

L'équation aux différences je crois que c'est cela, cependant ensuite on me demande d'en déduire la fonction de transfert, mais encore une fois mes cours n'en font pas mention...

Voila si quelqu'un pouvait m'aiguiller, je lui en serais gré.
Cordialement, Kevin Dernoncourt
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[Kevin.dernoncourt]

C'est de nouveau moi, pour la première question que je pose ici, j'ai considéré que exp(t) est une constante multiplicative de U(n), est ce correct? La transformée en z me donnerait donc:
(exp(t)* z)/(z-1), est ce la bonne réponse?

En revanche la seconde question me laisse toujours aussi perplexe..

[gg0]

Bonjour.

Aucune idée pour ta deuxième question. Par contre, pour moi, ta première question n'a pas de sens. Il n'y a pas de suite à transformer. Mais peut-être as-tu un énoncé, et y a-t-il un peu plus que ce que tu dis ...

Cordialement.

[Kevin.dernoncourt]

Beh justement, l'énoncé me dit mot pour mot "T étant un réel strictement positif, déterminer la transformée en z de l'échantillonnage xi, pour la période T, du signal analogique causal f(t)=exp(t)".
De là en voyant causal j'ai supposé que l'énoncé a omis le "U(t)", et je l'ai donc ajouté, mais je reste bloqué ensuite. Si l'exponentielle est bien considérée comme un coefficient, alors logiquement ce que j'ai écris plus haut est correct, sinon et bien... Je ne sais pas du tout car en théorie l'exponentielle est de la forme "a^n".
Voila, merci d'avoir pris le temps de répondre ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ok.

Rien à voir avec ce que tu disais au message #1. " la transformée en z de l'échantillonnage xi, pour la période T, du signal analogique causal f(t)=exp(t)".
Tous les mots comptent. Le signal étant causal, on commence à échantillonner à t=0, et on a tous les T une valeur. Ces valeurs sont notées x₀, x₁, x₂, ... ce qui te donne une suite, dont on te demande la TZ.

Cordialement.

NB : Je suis surpris que tu n'aies pas tilté sur "échantillonnage". Tu n'as jamais rencontré ça ?

[Kevin.dernoncourt]

Et bien non, c'est le premier échantillonnage qu'on me donne justement... Pour moi, cela ressemblait à un mot comme un autre, c'est tout, donc en fait... On me demande de calculer ça pour "exp(0)U(0)", "exp(1)U(1)", [...], "exp(t)U(t)" ? Et je dois transformer ça en Z?

[gg0]

L'échantillonnage est la prise de valeur tous les .... Donc pour une fonction f et une période T, la suite est f(0), f(T), f(2T), ...

Cordialement.

[Kevin.dernoncourt]

Je vois, donc si je comprend correctement, ma fonction f(t)=exp(t) est en fait équivalente à une suite x(n)=exp(nT)U(nT), et je dois juste en calculer la transformée qui vaut donc... z/(z-exp(T)) ?

[gg0]

Pourquoi ce U(nT) ??

Tu as simplement x(n) = exp(nT). Pour n entier naturel.

Cordialement.

[Kevin.dernoncourt]

Le U(nT) est là pour la dimension causale du signal, on m'a dit que c'était ainsi qu'on faisait une fonction causale (en utilisant l'échelon unité), de plus, les transformées ont tous un échelon unité dans leur expressions...
Bon donc sinon, la transformée que j'ai donnée, est elle correcte?

[gg0]

Si mes souvenirs sont bons, oui. Mais je n'ai pas pratiqué les formules depuis plus de 5 ans, alors que c'est tout frais pour toi.

[Kevin.dernoncourt]

Bon donc je te remercie alors =)
A présent il me reste à trouver pour mes équations aux différences et fonction de transfert, chose que je ne comprend absolument pas ^^

[gg0]

J'ai l'impression que ton exercice fait référence à des cours que tu n'as pas eus. D'automatique, ou de traitement du signal (ou télécoms).

[ansset]

je ne saisi pas .
aurais tu donc deux exercices dont l'un serait la TZ de f(n)=exp(nT) et l'autre sur une fonction de transfert ?

une TZ causale s'ecrit plutôt

sous toute reserve, car je comprend mal ton(tes) énoncés.

[Kevin.dernoncourt]

Si j'ai bien compris ce que m'a expliqué gg0, que je remercie d'ailleurs, c'est bel et bien le cas pour le premier exercice. Pour le second exercice, on me donne une équation aux différences et on me demande d'en déduire la fonction de transfert, et ça, je n'y comprend absolument rien car mes cours ne traitent pas du lien entre les deux fonctions.

Pour le premier exercice donc, j'ai dans un formulaire l'expression de la TZ des fonctions causales de la forme a^n * U(n) comme étant égales à z/(z-a).
Ici donc, en remplaçant "a" par "exp(T)", j'obtiens z/(z-exp(T))

Dans la seconde question, on me demande à présent de calculer exp(-t)U(t). Cette fois, le U(t) je ne l'ajoute pas. Cependant, cette fois, je n'ai pas du tout de formule pour faire cela, excepté l'expression générale, mais alors dans ce cas j'aurais quelque chose comme...

e(0)+e(-1)/z+....+e(-t)/z^t ? Ce qui vaudrait globalement...
Z(yn)= S (n=0 -> inf) z^n * e(n)/z^t

Est ce bien cela? Ou est ce que je fais vraiment fausse route?

[Kevin.dernoncourt]

Excusez moi de refaire un double post, cependant je préfère poser ici la question histoire de vérifier mes réponses.
A la question sur l'échantillonnage, j'ai finalement noté que la TZ du signal valait la somme entre 0 et l'infini de 1/(exp(t)*z^t), étant donné qu'on parle à l'origine de la somme allant de 0 à l'infini de x(n)*z^-n.

Dans la suite de l'exercice, on me demande à présent de calculer la TZ de ceci:

(3* sin(2t) - 4*exp(-t))*U(t).

J'ai procédé à la linéarisation, et je conclue que la TZ vaut la somme de 3*TZ(sin(2t)U(t)) - 4 (TZ(exp(-t)U(t)), cette dernière étant trouvée ci dessus.

Pour trouver la TZ de sin(2t)U(t), j'apllique la même chose, TZ= somme(0 > inf) sin(2t)/z^t.
Je note que la fonction est impaire et périodique de période pi.
Cependant, arrivé ici je doute. Je me dis que la somme peut être "coupée" à la fin de sa période, à savoir Pi, pour calculer la dite somme, mais je ne suis pas certain que ce soit la bonne marche à suivre. Je suis de plus partagé étant donné que la fonction est négative de manière fréquente, et que la somme tend vers 0 par conséquent. Cette partie est vraiment ennuyante de ce point de vue, car je ne sais vraiment pas par quel bout la prendre. Une fois cette question terminée, il ne me reste qu'à vérifier le théorème de la valeur initiale et celui de la valeur finale et tout est fini, cependant sans avoir la TZ, impossible de l'appliquer ce théorème.

Voila, merci à ceux qui prennent de leurs temps pour me répondre!