Recherche d'equilibres en fonction des parametres

[invite78a12817]

Bonjour, nous avons un problème avec cet exercice :

on a l'equation

On s'interesse aux points d'equilibre de cette équation (qui vérifient ) en fonction des paramètres r et k.

1) On a montré que x=0 était toujours un equilibre.

2) On suppose maintenant que x est différent de 0. On réécrit l'equation sou la forme :



Il est demander de trouver les valeurs critiques de r et k.


Nous ne comprenons pas l'utilité d'ecrire l'equation sous cette forme. Nous trouvons la valeur critique 0 pour r mais nous ne savons pas quoi faire pour k étant donné que k ne peut pas etre nul.
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[untruc]

donc selon les cas tu as probablement 1 autre, voir 2 autres points d'equilibre.

Maintenant tu peux étudier QUALITATIVEMENT une solution de l'equation diff. Si ta solution atteint un point d'equilibre, elle s'imobilise. Si t'as solution à une valeur x, tu peux determiner le signe de x'=> sens de progression de x(t). et donc visualiser comme va evoluer x(t), solution de ED, sur l'axe des abscisses.

L'equation que tu vois, te suggère de tracer 2 courbes: les points d'equilibre sont les intersections des 2 courbes. Et tu as le signe de la différence selon la valeur de x. Donc tu peux visuellement déterminer le signe de x', donc comment la solution va evoluer à partir de la condition initiale.

Maintenant, que signifie "valeur critique". Aucune idée, peut etre les valeurs de r et k, qui rendent 0 un point d'equilibre stable, donc si une fonction est proche de zero, elle va forcément converger vers zero. Mais ca peut dépendre de quel problème physique elle modélise.

[invite78a12817]

C'est bien ce que j'ai fait, j'ai tracé les deux courbes et regardé les points d'intersection.
Valeur critique : si pour r>a on a 2 equilibres, r=a 1 equilire et r<a 2 equilbres alors a est la valeur critique de r.

Sans compter l'équilibre x=0, je trouve :
r>0 : 1 equilibre
r=0 : 0 equilibre
r<0 : 1 equilibre
Donc pour moi 0 est la valeur critique de r

k>0 : 1 equilibre
k=0 : IMPOSSIBLE
k<0 : 1 equilibre
Donc je suppose que 0 est la valeur critique de k

Maintenant il reste deux questions auxquelles j'ai du mal à repondre:

- Identifier dans le plan (r;k) différentes régions suivant le nombre d’équilibres stable. Commenter.
On pourra interpréter ces régions en traçant la surface f(x;k;r) = 0

j'ai bien identifier les regions mais je ne sais pas quoi en dire. Je ne sais pas comment tracer la surface.


- Peut-il y a avoir invasion (autrement dit une augmentation brusque de la population à l’équilibre) lorsque les paramètres r et k varient légèrement ? Des phénomènes d’hystérésis peuvent-ils apparaître ?

Je ne sais pas comment répondre