Z4Z n'est pas isomorphe à Z2ZxZ2Z

[ismail096]

svp commnet monter que Z4Z n'est pas isomorphe à Z2ZxZ2Z ??
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[Médiat]

Bonjour (formule de politesse non optionnelle !)



En cherchant une formule vraie dans l'un et fausse dans l'autre.

[ismail096]

ont peut raisonner comme ca :
Si G=Z/2Z×Z/2Z tous ses éléments sont d'ordre 2 ou 1.
Alors si G est isomorphe à H=Z/4Z, tous les éléments de H sont d'ordre 2 ou 1. Mais ce n'est pas vrai puisque H contient un élément d'ordre 4. Contradiction.
Donc G et H ne sont pas isomorphes.

[Médiat]

Donc, finalement, vous saviez faire

[A voir en vidéo sur Futura]

[ismail096]

on peut ausssi raisonner comme ca Par exemple: si je note:
ϕ : Z4Z⟶Z2ZxZ2Z
[0] ⟶ ([0],[0])
[1] ⟶ ([0],[1])
[2] ⟶ ([1],[0])
[3] ⟶ ([1],[1])


ϕ(1+1)= (1,0) avec ϕ(1)+ϕ(1)= (0,1)+(0,1)

donc (1,0)≠ (0,1)+(0,1)

[Médiat]

Là vous avez démontré que "une application particulière, ϕ" n'est pas un isomorphisme, ce n'est donc pas suffisant.