Mouche train et somme

[Azghar]

Bonjour,
J'ai fais un petit exercice ludique en physique mais j'ai une erreur quelque part alors si vous pouvez m'aider :
cette exercice est tiré d'un exemple connu :
deux trains qui vont dans des sens opposés, et dans la même direction, sont en mouvement linéaire uniforme à une vitesse v.
une mouche fait l'aller retour entre les deux trains à la vitesse 3v. elle s'arrete quand les deux trains se croisent.
Combien la mouche fait elle d'aller retour ?
Quelle est la longueur de chaque trajet ? Quelle distance parcourt elle en tout.

Il y a deux façons de voir le problème. La première, la plus simple consiste à poser les relations et à très vite se rendre compte que distance parcourue par la mouche = 3/2 de la distance séparant les deux trains à la date t0.
Seulement, j'aimerais prouver que la mouche fais une infinité d'aller retour. Et pour ça j'ai pensé a traduire le problème sous forme d'une somme de termes.
Si on pose X=d/2 et qu'on remplace les deux trains par un seul qui se déplace a la vitesse 2v on peut obtenir (et c'est la que j'ai sans doute fais une erreur) :
distance totale parcourue d=X+2X/3 + 2x/9.... +2x/3**n = X+2X*somme pour k allant de 1 a n des 1/3**k ce qui tend vers 2X (=d) alors que je devrais trouver 3/2d
une idée ?
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[polf]

Je pense qu'il faut établir 3 suites un, vn, tn telles que :
t0=0
u0 est la position du 1er train à t=t0
v0 est la position du 2eme train à t=t0
t1 est le temps que met la mouche pour aller de u0 à v0

Puis:

u1 est la position du 1er train à t=t0+t1
v1 est la position du 2eme train à t=t0+t1
t2 est le temps que met la mouche pour aller de v1 à u1

puis :

u2 est la position du 1er train à t=t0+t1+t2
v2 est la position du 2eme train à t=t0+t1+t2
t3 est le temps que met la mouche pour aller de u2 à v2

etc...

[Azghar]

Ok merci, je vais voir ça

[Titiou64]

Bonjour,

Si les 2 trains sont distants de la distance d au départ, ils se rencontrent au bout d'un temps T=d/2v.
Il te suffit de calculer la distance parcourue par la mouche pendant ce laps de temps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ce qui montre bien que le 3/2 est sujet à caution.

Cordialement.

NB : j'adore l'idée de la mouche qui va plus vite qu'un train.

[Dynamix]

Salut

NB : j'adore l'idée de la mouche qui va plus vite qu'un train.

C' est tout à fait possible .

[polf]

Avec les suites que j'avais définies :

v(n+1)=(vn-un).3/4+un = 3/4.vn+1/4.un
u(n+1)=(vn-un).1/4+un = 1/4.vn+3/4.un
dt(n+1) = (vn-un)/(4.v) = ( 3/4.v(n-1)+1/4.u(n-1)-1/4.v(n-1)-3/4.u(n-1) )/(4.v) = ( v(n-1)-u(n-1) )/(8.v) = dtn/2

On déduit :
dt(n+1) = dtn/2
u(n+1)+v(n+1) = un + vn
v(n+1)-u(n+1) = ( vn-un ) /2

Donc pour tout n :
un+vn = d
vn-un = (1/2)^n.d
dt1 =d/(4.v)
dtn = (1/2)^(n-1).d/(4.v) pour n>=1
tn = somme ( 1=< j =< n, (1/2)^(n-1).d/(4.v) ) pour n>=1
tn = d/(4.v).somme ( 0=< j =< n-1, (1/2)^n ) pour n>=1
tn = d/(4.v).(1- (1/2)^n )/(1-1/2) = d/(2.v).(1-(1/2)^n) pour n>=1


Finalement :
un =(1-(1/2)^n).d/2 pour tout n
vn =(1+(1/2)^n).d/2 pour tout n
tn = d/(2.v).(1-(1/2)^n) pour n>=1

[polf]

Et la distance parcourue par la mouche :

ddmn=3/4.(vn-un) = 3/4.(1/2)^n.d
dmn=somme(0=<j=<n, 3/4.(1/2)^n.d) = 3/4.d.somme(0=<j=<n, (1/2)^n) =3/4.d.(1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2)
dmn=3/2.d.(1-(1/2)^(n+1))

[Azghar]

Merci polf pour ta démonstration, tu réponds entièrement a ma question et ta somme tend bien vers 3/2 d.
gg0, sisi mon résultat est correct, je t'invite à faire les calculs.
Titiou64, c'est sympa de vouloir aider, mais cela n'était pas ma question, j'avais déjà fait cette partie

[gg0]

Désolé, j'avais lu la vitesse 2V pour la mouche ...

J'ai apparemment de gros problèmes de lecture en ce moment

[Titiou64]

J'ai apparemment de gros problèmes de lecture en ce moment

Rassure-toi, tu n'es pas le seul .
Je suis passé complètement à côté de la question posée...