Pourquoi définir sur un ouvert ?

[Jocpus.]

Bonjour, j'ai bien décortiqué mon cours sur la topologie et le calcul différentiel mais quelque chose m'échappe, pourquoi définit on le plus souvent (pour ne pas dire toujours) nos fonctions (une ou plusieurs variables) sur des ouverts et non sur des fermés ? (ou ni l'un ni l'autre d'ailleurs).

Je sais que R^n est un Banach, et qu'il vaut mieux que le domaine de définition de la fonction soit connexe pour pouvoir étudier sa continuité et sa dérivabilité.
Je me demandais si on utilisait des ouverts pour éviter d'étudier certaines fonctions sur des valeurs d'adhérences qui pourraient être gênantes mais ça ne m'avance en rien.

Je fais donc appel à quiconque pourrait me sortir de ma cécité sur ce point, car je n'arrive pas à voir en quoi cela est plus judicieux qu'utiliser des espaces fermés, ouverts et fermés ...
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[Seirios]

Bonsoir,

L'idée de la continuité est que, si je bouge pas trop loin de , alors ne va pas être trop différent de . Mais encore faut-il pouvoir bouger autour de : une manière de dire cela est de demander à d'être dans l'intérieur du domaine de définition. Maintenant, tu peux très bien faire des choses sur des domaines qui ne sont pas ouverts, mais dans ce cas tous les résultats que tu trouvent vont dépendre du domaine de définition que tu auras choisi : autrement dit, on essaie autant que faire ce peux de se ramener sur un ouvert pour ne pas avoir cette dépendance, mais si elle devient nécessaire, et bien il est tout de même possible de dire des choses intéressantes, mais ce sera du cas par cas. Un exemple basique est la fonction racine carrée : le domaine de définition est , mais si on s'intéresse au comportement de la dérivée en , il faudra parler de limite en .

[Jocpus.]

Je vous remercie pour cet explication, je vois mieux l'utilité d'utiliser les ouverts comme domaine de définition pour s'épargner des études fastidieuses au "cas pas cas" . Merci encore !!