Diagonaliser une matrice

[The_Anonymous]

Bonjour !

J'ai une question à propos d'une matrice dont on cherche la diagonalisation.

La matrice en question est la suivante :

, où on a .

La première partie de l'exercice consiste à déterminer s'il s'agit d'une matrice diagonalisable, triangularisable ou pas.

J'ai donc calculé .

J'en conclus que est au moins triangularisable.

Je passe du coup au calcul des espaces propres pour vérifier si est diagonalisable et je trouve pour la valeur propre 4 :

.

J'en conclus qu'on a , donc

Pour la valeur propre 3, je calcule :

.

J'en conclus qu'on a , et alors .

La matrice ne serait alors pas diagonalisable, mais au moins triangularisable.

Le problème vient dans la deuxième partie, où il faut, je cite :

"Pour , déterminer une matrice de changement de base permettant de triangulariser ou de diagonaliser la matrice et expliciter la formule de changement de base."

Je me demandais qu'est-ce qu'il en était du cas des matrices triangulaires mais non diagonalisables quant à cette formule de changement base. Je déduis de l'énoncé qu'il est possible d'appliquer la formule (le fait semble être impliqué), mais sachant qu'on a affaire à une matrice triangulaire non diagonalisable (sauf erreur), cela veut dire qu'au moins une des multiplicités algébriques est plus grande que la multiplicité géométrique correspondante (de la même valeur propre), ce qui résulte en une matrice de changement de base non carrée, ce qui implique alors qu'on ne peut pas trouver d'inverse de cette matrice, ce qui rend la formule de changement de base inutilisable.

Pour mon exemple, en utilisant le fait que la matrice de changement de base est composé des vecteurs-colonnes des espaces propres des valeurs propres de la matrice, je trouverais donc la matrice . Il est donc impossible de l'inverser et je me trouve bien coincé dans mon exercice.

Peut-on alors utiliser la formule de changement de base avec une matrice triangulaire non-diagonalisable ?

Mon raisonnement quant à l'exemple est-il correct ? La matrice est-elle bien triangulaire non-diagonalisable ? Mes espaces propres sont-ils justes ? Est-il possible de répondre à la deuxième partie dans ce cas ?


Merci beaucoup d'avance pour toute l'aide.


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[Seirios]

Bonjour,

Il te faut juste prendre une base dans laquelle ta matrice sera triangulaire : tu peux prendre tes deux vecteurs propres, (6,0,1) et (5,1,3), puis ajouter n'importe quel autre vecteur linéairement indépendant pour définir une base. La matrice aura alors la forme .

[The_Anonymous]

Bonjour,

Il te faut juste prendre une base dans laquelle ta matrice sera triangulaire : tu peux prendre tes deux vecteurs propres, (6,0,1) et (5,1,3), puis ajouter n'importe quel autre vecteur linéairement indépendant pour définir une base. La matrice aura alors la forme .

Merci beaucoup!

J'ai utilisé comme troisième vecteur-colonne, et j'ai donc pu trouvé un inverse, utilisé la formule de changement de base et j'ai obtenu la matrice triangularisée .

Je n'avais pas pensé à prendre un troisième vecteur-colonne linéairement indépendant des deux autres, j'avais oublié qu'on recherchait une matrice triangulaire pas forcément diagonale (un peu obvious, je dois l'admettre ), donc pas besoin de prendre un vecteur d'un espace propre d'une valeur propre de la matrice de base. Je suppose qu'on demande l'indépendance linéaire pour le troisième vecteur pour pouvoir inverser la matrice par la suite (j'espère avoir bien compris).

Merci encore pour l'astuce!

Cordialement