Groupe cyclique

[NeutrinoSpace]

Salut à tous,


Je bloque sur un exercice :

1) Soit un groupe abélien fini, montrer qu'il existe un élément d'ordre le ppcm des ordres des éléments ().
2) Soit , et tel que , montrer qu'il existe tel que .
3) On suppose que , montrer que est cyclique.
4) On considère l'ensemble des avec . Montrer que c'est un groupe cyclique.


J'en suis à la 4) et je suis un peu perdu... Merci de votre aide
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[Universus]

4) On considère l'ensemble des avec . Montrer que c'est un groupe cyclique.


J'en suis à la 4) et je suis un peu perdu... Merci de votre aide

Si nous oublions les conditions , que pouvons-nous dire de l'ensemble (c'est un groupe assez célèbre) ? Autrement dit, comment agit-il sur le plan ? Une fois ceci connu, il est plus aisé d'interpréter l'ensemble initial (en particulier, de savoir qu'il s'agit bien d'un groupe).

[NeutrinoSpace]

Salut et merci de ta réponse,


Il s'agit du groupe . Je suis intéressé par ta réponse par action de groupe, nous l'avons vu bien que celle-ci soit hors programme... Il s'agit d'un exo d'oral ENS donc je suppose qu'on peut s'en passer.

[Universus]

Exact. Sachant que est un groupe, il est assez aisé d'en déduire que l'ensemble d'intérêt est aussi un groupe. Maintenant, peut s'interpréter comme l'ensemble des nombres complexes de norme 1 ; cela induit quelle interprétation pour votre ensemble ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[NeutrinoSpace]

J'étais parti comme ça : où en remarquant que et donc de faire jouer le rôle de des complexes à . Mais j'avoue ne pas savoir comment m'en sortir...

[NeutrinoSpace]

Je dirais un cerce de centre et de rayon ?

[Universus]

Je suis allé trop vite en affaire, il faut comprendre la relation dans ; le cheminement que je proposais afin de « visualiser » le groupe n'est pas adéquat.

[Universus]

L'ensemble est le quotient de l'ensemble par la soustraction de matrices de l'ensemble . Nous pouvons montrer que est un groupe et que la multiplication et l'inversion sont compatibles avec la relation d'équivalence définie par . Ceci montre que la structure de groupe de H « passe au quotient », c'est-à-dire à G.

(Nous pouvons effectuer la transformation pour tous les ensembles ci-dessus ; la multiplication matricielle est envoyée sur la multiplication complexe et l'addition est envoyée sur l'addition. Dans cette description, est une réunion de diverses translations du réseau , une translation par élément de G.)

Notons que G a au plus éléments et est abélien. Donc je suppose que nous pouvons utiliser les autres questions, mais je ne vois pas trop comment m'y prendre pour l'instant.