Equation différentielle non linéaire

[roidecoeur]

bonjour à tous
je butte sur l'équadiff suivante:

2y*y"=y'-y^3

j'ai posé comme il se doit z=y'=dy/dx. Ensuite, en posant z'=dz/dy, j'obtiens:
2yzz'=z-y^3 (fonction inconnue z, variable y), et là je coince....
merci de votre aide
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[mc222]

Bonjour,

Je pense que cette équation est bien trop complexe pour trouver une solution analytique.

Ça serait trop beau !

Bonne journée

[roidecoeur]

c'était pourtant posé au concours commun Mines en 1998..Il doit bien y avoir une solution analytique....

[ansset]

bjr, tu ne dis pas si tu es dans les réels ou les complexes.
dans tous les cas j'irai regarder du coté des exponentielles.
Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[roidecoeur]

a priori dans l'espace des réels

[Universus]

L'équation différentielle peut être étudiée qualitativement. On se rend compte que des solutions impairs existent, que précisément lorsque (sauf possiblement si ), etc. Pour mieux étudier ces propriétés qualitatives, nous pouvons considérer séparément et . Une étude minutieuse montre que z n'existe que dans un voisinage de , finissant par croiser l'axe des abscisses verticalement (z n'est autrement nulle qu'en y=0). Évidemment, ces constats supposent z continue et réelle.

Sinon, plus quantitativement, nous pouvons trouver une solution sous forme de série de puissance. Ici, je cherche des solutions continues près de . En posant , nous obtenons , d'où

qui doit valoir .

Ainsi, nous avons sauf si , dans quel cas . Ceci implique , et, après un certain calcul, . En particulier, la solution est unique, mais cela ne contredit pas le théorème de Cauchy-Lipschitz puisque l'équation différentielle est et n'est pas continue en . Plus généralement, il faudrait aussi considérer des puissances négatives.