Identité via intégration par parties

[Universus]

Bonjour à tous,

Je demande votre aide afin de démontrer une certaine égalité énoncée dans le livre Introduction to Symplectic Topology (seconde édition) par McDuff et Salamon, plus précisément dans la démonstration du lemme 11.1.

Voici le contexte. Pour un entier , on considère sur (muni de coordonnées cartésiennes ) une fonction de période 1 en chacune de ses variables. Pour alléger un tant soit peu la notation, écrivons l'hypercube de côté 1 (qui peut servir de domaine fondamental pour ) et pour sa frontière. Pour tout , l'égalité suivante tiendrait :

.

Ici, est la matrice correspondant à un bloc hors-diagonale de la matrice hessienne de W, à savoir .

Leur explication pour cette égalité m'apparaît assez lacunaire : « cette identité peut se démontrer via une intégration par parties. » Soit, j'intègre par parties, obtenant

.

Le terme de bord est certainement nul en raison de la périodicité de la fonction évaluée. L'intégrale restante peut être développée à l'aide de la formule de Jacobi :

.

Je ne vois pas comment montrer que ceci est nul, excepté dans le cas . Dans ce cas, la dernière intégrale est tout simplement



et je vois que ceci est nul en développant W (et ce faisant ) en séries de Fourier et en utilisant l'orthogonalité des fonctions trigonométriques. Cette justification me semble peut-être un peu trop calculatoire, d'autant plus qu'elle ne semble pas se généraliser aisément aux cas en raison de la présence de la comatrice...

Merci pour votre considération.

Sincèrement,

Universus
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[azizovsky]

Salut, si l'équation qu'ils ont donné, et qui est nulle , est juste, je crois qu'ils ont utilisé le calclul variationels, dans le domaine des dérivées de Fréchet ???, juste une intuition , à toi de voir.(je suis devenu quasi-aveugle dans les maths).

[Universus]

Merci beaucoup pour votre réponse. Il y aurait quelque chose d'assez comique à ce que la preuve de ceci passe par des méthodes variationnelles, puisque ce lemme 11.1 du livre de McDuff-Salamon énonce indirectement un résultat variationnel !

Cependant, je vois bien mal comment cette formule pourrait se déduire du calcul variationnel...

Merci encore de l'intérêt !

[azizovsky]

Salut, puisque l'intégrale est nulle, et la fonction W n'est pas une constante, c'est que Det (Id-...)=0.??

avec det( id+A)=1+tr(A)+o(||A||)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Bonjour,

Salut, puisque l'intégrale est nulle, et la fonction W n'est pas une constante, c'est que Det (Id-...)=0.??

Non, puisqu'une fonction non nulle peut avoir une intégrale définie nulle. Dans le cas actuel, si n=1, l'équation initiale est



et il suffit de prendre pour voir que l'intégrande n'est pas nulle, mais l'intégrale si. En fait, c'est ce cas simple qui m'a suggéré d'utiliser des séries de Fourier et l'orthogonalité des fonctions trigonométriques dans le cas général.

avec det( id+A)=1+tr(A)+o(||A||)

Ce développement est démontré à l'aide de la formule de Jacobi. Seulement, puisque n'a pas à être petit, le terme n'est pas forcément négligeable et il faudrait le connaître explicitement dans l'évaluation de l'intégrale. C'est pourquoi il est plus avantageux d'utiliser la formule de Jacobi directement.

Le cas n=2 est déjà passablement plus complexe, puisque



À ce compte, mieux vaut dériver le déterminant directement plutôt que d'utiliser la formule de Jacobi... Nous voyons cependant que l'argument par les séries de Fourier devient rapidement ardu, d'autant plus que nous intégrons des produits de n+1 fonctions trigonométriques, de sorte que l'orthogonalité ne s'utilise pas directement...

C'est pourquoi je cherche un argument plus « abstrait », moins « naïf » que le calcul brut. Or, je n'en trouve même pas dans le cas n=1...

Remarque : le déterminant apparaissant dans l'intégrale initiale est le déterminant jacobien d'un « changement de coordonnées » construit à même la fonction W. Ce que le lemme 11.1 cherche à montrer est que l'intégrale de la composition de avec ce changement de coordonnées est nulle. En particulier, le déterminant est là pour rester, puisque le ré-interpréter comme un déterminant jacobien ne ferait que revenir plus tôt dans l'argument de McDuff-Salamon...

[azizovsky]

Bonjour, je suis loin de tous ça, mais j'ai chérché hièr dans un encien bouquin: variational methods in mathématical physics, et j'ai rien trouver de semblable, je ne suis q'un amateur des maths, donc .....

[azizovsky]

mais ne t'inquiète, je comprend un petit peu ton but, je vais chércher dans les éditions moscou, une cinquantaine.....(ça fait un bail avec mes enciens copins)