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suite de la somme des n premiers nombres au carré

  1. milsabor

    Date d'inscription
    mars 2005
    Localisation
    Hte savoie
    Âge
    25
    Messages
    319

    suite de la somme des n premiers nombres au carré

    Bonjour
    Je recherche comment écrire la suite de la somme des n premiers nombres au carré:
    Pn=1+4+9+16+25+...n²
    mais d'une meilleure façon...je ne pense pas que la suite Un=n² soit geometrique, donc je ne sais pas comment calculer la somme de ses n premiers termes
    pouvez vous m'aider?
    Cordialement


    "J'ai comme l'impression d'avoir moi même quelques problèmes avec ma propre existence"
     


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  2. Syllys

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Messages
    54

    Re : suite de la somme des n premiers nombres au carré

    cette somme est n(n+1)(2n+1)/6 , tu peux le montrer par récurence .pour la calculer directement je pense qu'il faut utiliser une astuce du style k^2=(k(k-1)+k) mais je crois pas que ce soit simple ..
     

  3. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    54
    Messages
    2 041

    Re : suite de la somme des n premiers nombres au carré

    Citation Envoyé par milsabor
    Bonjour
    Je recherche comment écrire la suite de la somme des n premiers nombres au carré:
    Pn=1+4+9+16+25+...n²
    mais d'une meilleure façon...je ne pense pas que la suite Un=n² soit geometrique, donc je ne sais pas comment calculer la somme de ses n premiers termes
    pouvez vous m'aider?
    Cordialement
    Bonjour,

    Ce n'est effectivement pas une suite géométrique... En vrai,

    P(n) = n(n+1)(2n+1) / 6

    et c'est un bon exo (facile) de le démontrer par récurrence.

    -- françois
     

  4. ashrak

    Date d'inscription
    juin 2005
    Localisation
    Paris
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    27
    Messages
    235

    Re : suite de la somme des n premiers nombres au carré

    Une idée qui me passe par la tête c'est de penser aux impaires , par exemple que fait la somme des n premiers impaires ... puis de continuer en utilisant le résultat. (je ne suis pas sûr du tout ... mais ca me parait une piste).
    Devancé par Syllys , oui la récurrence me parait plus facile , pourquoi toujours tout démontrer à la bourin .... un peu d'intuition ne fait pas de mal.
     

  5. milsabor

    Date d'inscription
    mars 2005
    Localisation
    Hte savoie
    Âge
    25
    Messages
    319

    Re : suite de la somme des n premiers nombres au carré

    mais, par récurrence, je ne vois pas du tout par quoi je devrai commencer mon raisonnement! il faut deja que je connaisse une partie de la réponse!
    "J'ai comme l'impression d'avoir moi même quelques problèmes avec ma propre existence"
     


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  6. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
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    54
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    2 041

    Re : suite de la somme des n premiers nombres au carré

    Citation Envoyé par milsabor
    mais, par récurrence, je ne vois pas du tout par quoi je devrai commencer mon raisonnement! il faut deja que je connaisse une partie de la réponse!
    Tu as P(n+1) = P(n) + (n+1)², et si on admet que P(n) = n(n+1)(2n+1)/6 (hypothèse de récurrence), il n'y a plus qu'à développer...

    Mais c'est vrai que cete expression de P(n) n'est pas franchement intuitive, et que la balancer dans une récurrence comme si on avait eu la révélation, c'est pas très honnête. L'idée de partir sur le somme de n premiers impairs (qui est égale à n², voir un peu plus loin dans ce forum) est excellente.

    -- françois
     

  7. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    IdF
    Messages
    4 439

    Re : suite de la somme des n premiers nombres au carré

    Citation Envoyé par fderwelt
    Mais c'est vrai que cete expression de P(n) n'est pas franchement intuitive, et que la balancer dans une récurrence comme si on avait eu la révélation, c'est pas très honnête.
    Une autre solution un peu moins malhonnête (mais juste un peu ) consiste à supposer que l'on va obtenir un polynôme de degré 3, et d'en calculer les coefficients à l'aide des premiers termes. Ensuite on montre le tout rigoureusement par récurrence.
    Ca permet aussi de retrouver facilement le résultat si on ne connait pas la formule par coeur.
     

  8. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    54
    Messages
    2 041

    Re : suite de la somme des n premiers nombres au carré

    Citation Envoyé par matthias
    Une autre solution un peu moins malhonnête (mais juste un peu ) consiste à supposer que l'on va obtenir un polynôme de degré 3, et d'en calculer les coefficients à l'aide des premiers termes. Ensuite on montre le tout rigoureusement par récurrence.
    Ca permet aussi de retrouver facilement le résultat si on ne connait pas la formule par coeur.
    En fait, je ne me souvenais plus de la formule par cœur, alors j'ai fait comme tu dis... (enfin, je me rappelais quand même que cétait du 3ème degré, mais ça c'est à peu près clair).

    -- françois
     

  9. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    IdF
    Messages
    4 439

    Re : suite de la somme des n premiers nombres au carré

    D'ailleurs si on prends des cubes de côté 1 que l'on dispose en pyramide (base carrée composée de n² cubes sur laquelle on dispose un carré composé de (n-1)² cubes ...), on voit assez intuitivement que le volume va être en n3/3. On retrouve bien le terme de plus haut degré.
     

  10. milsabor

    Date d'inscription
    mars 2005
    Localisation
    Hte savoie
    Âge
    25
    Messages
    319

    Re : suite de la somme des n premiers nombres au carré

    et maintenant, si je veux seulement la somme des nombres impaires au carré??? comment m'y prends-je?
    "J'ai comme l'impression d'avoir moi même quelques problèmes avec ma propre existence"
     

  11. Coincoin

    Date d'inscription
    octobre 2003
    Localisation
    Paris
    Âge
    29
    Messages
    16 627

    Re : suite de la somme des n premiers nombres au carré

    Salut,
    Regarde la somme des nombres pairs au carré. Tu devrais pouvoir l'exprimer...
    Encore une victoire de Canard !
     

  12. pat7111

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Localisation
    Region parisienne
    Âge
    40
    Messages
    1 075

    Re : suite de la somme des n premiers nombres au carré

    La meilleure méthode pour répondre à la question initiale (et sans malhonnêteté) est celle évoquée par Syllys et c'est pas montrueusement compliqué :

    Soit

    Il est clair que

    Pour


    d'où
    En réarrangeant, on retrouve le résultat bien connu


    Pour , on fait pareil au cran suivant :

    On décale les indices, tout dégage sauf le début et la fin... d'où

    d'où

    et de proche en proche la somme des puissances que l'on veut ...
    Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...
     

  13. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    54
    Messages
    2 041

    Re : suite de la somme des n premiers nombres au carré

    Citation Envoyé par pat7111
    La meilleure méthode pour répondre à la question initiale (et sans malhonnêteté) est celle évoquée par Syllys et c'est pas montrueusement compliqué :
    (coupé pour ne pas prendre trop de place!)
    et de proche en proche la somme des puissances que l'on veut ...
    Très joli !!! et astucieux!

    -- françois
     

  14. pat7111

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Localisation
    Region parisienne
    Âge
    40
    Messages
    1 075

    Re : suite de la somme des n premiers nombres au carré

    Merci, mais c'est pas moi qui l'ait inventé

    Comme quoi, quoi qu'en disent certaines mauvaises langues, même plus de dix après, la prépa laisse des traces
    Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...
     


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