Symboles de Christoffel et bases non holonomes

[Jokmail]

Bonjour à tous!

Il existe plusieurs méthodes pour calculer les symboles de Christoffel. Une méthode "élégante" est la méthode lagrangienne. Cette méthode consiste à associer un lagrangien à la métrique afin d'écrire les équations d'Euler-Lagrange vérifiées par les géodésiques puis de comparer ces équations avec les équations vérifiées par les géodésiques écrites avec les symboles de Christoffel (voir ici).

Dans cette méthode on n'a pas l'air de prendre en compte le fait que la base utilisée soit holonome ou pas. Que doit-on faire pour généraliser cette méthode aux cas où les bases utilisées ne sont pas holonomes ?
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[Universus]

Bonjour,

Je suppose que par « base holonome », vous entendez une trivialisation (locale) de l'espace tangent par des sections qui sont induites par des champs de vecteurs « coordonnées ».

La méthode lagrangienne est géométrique, en ce sens que nous pouvons la formuler sans évoquer explicitement de coordonnées sur un espace de configuration . Plus précisément, le lagrangien n'est qu'une fonction (j'omets toute dépendance explicite au temps). Tout chemin induit (en calculant sa vitesse) un chemin et nous pouvons lui associer une action, c'est-à-dire calculer l'intégrale . Le principe d'action stationnaire indique alors que les trajectoires physiquement réalisées sont des points critiques de la fonctionnelle . Tout ceci a du sens indépendamment de tout système de coordonnée.

Dans la pratique, nous avons recours à un système de coordonnées sur , ce qui induit des coordonnées sur , c'est-à-dire une base (mobile) holonome. Ceci nous permet, du moins localement, de décomposer en couple . Ce faisant, nous pouvons traduire l'assertion « est un point critique de A » en « satisfait les équations d'Euler-Lagrange (sous leur forme usuelle) ».

En d'autres termes, si ce n'était pas de l'utilisation d'une base holonome, la traduction ci-dessus pourrait se faire, mais les équations « d'Euler-Lagrange» résultante auraient des expressions plus compliquées.

L'approche hamiltonienne, ou sa formulation plus « géométrique » qu'est la topologie symplectique, donne à mon avis une meilleure idée de ce qui est en jeu. Essentiellement, l'idée est que l'utilisation d'une base holonome donne lieu à des coordonnées sur spéciales du point de vue de la « géométrie générée par le lagrangien L ». Techniquement, à tout le moins si L satisfait certaines conditions (dites de Legendre, assurant la possibilité d'effectuer la transformation éponyme ; le "lagrangien des géodésiques" vérifie cette condition), le lagrangien L détermine une forme symplectique sur l'espace tangent et une base holonome détermine des coordonnées de Darboux pour cette forme symplectique. L'expression de la forme symplectique dans ces coordonnées est simple, donc les équations d'Euler-Lagrange le sont d'autant. Si la base n'est pas holonome, alors les coordonnées ne sont plus Darboux ; la forme symplectique prend une apparence compliquée et les équations d'Euler-Lagrange aussi.

[Jokmail]

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Je pensais que l'utilisation d'une base non holonome sur ne compliquerait pas autant cette méthode pour le calcul des symboles de Christoffel. Avez-vous des références à me conseiller sur ce sujet?

[Universus]

Je ne connais pas de référence particulière traitant de ce que j'ai mentionné, encore moins dans le cadre spécifique du "lagrangien des géodésiques". Ce sont des résultats connus et assez élémentaires de topologie symplectique et des formalismes lagrangien et hamiltonien. Pour vous donner une meilleure idée de la complexité des équations d'Euler-Lagrange dans une base non holonome, notez que ce que j'ai écrit dans mon précédent message se réduit à ceci : pensez à la façon dont les équations de Hamilton changent de forme si nous effectuons dans l'espace de phase une transformation qui n'est pas canonique.

Si vous n'êtes intéressé qu'à la géométrie riemannienne, vous auriez probablement avantage à étudier les repères mobiles introduits par Élie Cartan. Cette approche est la plus à même de répondre à vos interrogations, les abordant de manière très géométrique et naturelle. Cependant, puisque vous semblez vous intéresser à la géométrie intrinsèque des variétés, cette approche s'avère assez sophistiquée. C'est pourquoi vous auriez possiblement avantage à la voir à l'oeuvre dans le contexte de la géométrie extrinsèque, par exemple dans l'étude d'une surface plongée dans : les notes de cours de Theodore Shifrin abordent très bien le sujet dans la section « Surface Theory with Differential Forms ».

[A voir en vidéo sur Futura]