Recherche point de tangence entre un cercle et un arc de cercle

[django2013]

Bonjour à tous,

Je vous remercie d'avance de prendre de votre temps pour pouvoir m'aider.
Je suis actuellement en PFE et je suis confronté à un problème que je ne n'arrive pas à résoudre depuis plusieurs semaines.
Je vous met tout d'abord un schéma du système.


Nous avons donc un cercle de centre C et de rayon R2
Un arc de cercle de rayon R1, de centre B et d'angle beta
Les deux extrémités de l'arc sont coïncidente avec une droite d'angle alpha par rapport à l'axe x
Le cercle de centre C et de rayon R2 est tangent à l'axe x au point A, origine du repère
Le cercle de centre C et également tangent à l'arc au point D.

Donc en fixant R1, beta, L et alpha,
comment peut on déterminer R2 pour que la tangence en D existe, dans le but de déterminer les coordonnées du point D?

J'ai déjà essayé d'aborder le problème en prenant l'équations du cercle et l'équation du cercle dans lequel est confondu l'arc. j'ai donc égalisé les deux équations et recherché la solution unique qui correspond au point de tangence. malheureusement celui-ci ce situe sur une portion du cercle qui n'est pas confondu avec l'arc...
Cette méthode n'est surement pas la bonne donc n'hésitez pas si vous avez d'autres idées pour résoudre ce problème. Peut être de manière vectorielle ou autre.

J'espère avoir été claire et concis et je suis à votre disposition en cas contraire.
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[Neluge]

Bonjour,

Cela doit pourtant marcher !
1. Calculez les coordonnées de B en fonction des paramètres. Personnellement j'ai et .
2. Vous en déduisez l'équation du cercle de centre B : .
3. L'équation du cercle de centre A est : vous cherchez a résoudre le système des deux équations. Vous faites la différence pour éliminer les carrés, vous exprimez ainsi x en fonction de y, et vous substituez dans l'une des équations.
4. Vous obtenez alors une équation du second degré en x. La configuration de tangence correspond au cas ou cette équation a une unique solution : vous écrivez que le discriminant doit etre nul. C'est une équation en R2.
5. Vous résolvez, et devez trouver deux solutions positives R2 : une qui correspond a la configuration que vous recherchez, et l'autre qui correspond a une tangence intérieure (cad avec le cercle de centre B a l'intérieur du cercle de centre A). Vous gardez la solution la plus petite.

Si cela ne toujours marche pas, il faudrait que vous précisiez vos calculs...

[django2013]

Merci Neluge de votre réponse. Vous avez bien compris mon problème, mais je n'arrive toujours pas à le résoudre, j'ai même trouvé un delta négatif lorsque je cherchai les solutions de R2....

Tout d'abord je m'excuse la position du L qui n'est pas exact sur le schéma que je vous ai envoyé hier, mais cela influence uniquement la position de XB et YB

J'ai refait le calcul toute la journée, mais je n'arrive pas à obtenir le bon résultat.... surtout que je traine des équations qui font jusqu'à 5 lignes.... Auriez-vous une méthode de simplification qui pourrait m'aider?

Je vous mets tout d'abord une image de la configuration exact et ensuite le déroulement de ma démarche qui sera sur ment très difficile à lire.
Dans ce cas la j'ai fixé L=25 beta=60 alpha=5.5 R1=50 avec la bonne configuration on a donc yb=R1*sin((180-beta/2) + alpha)=-45.5 et xb= L + R1*cos((180-beta/2) + alpha)= -45.7. Normalement grâce à ma vérification faite sur CATIA je devrais trouver un R2 d'environ 369mm. mais dans le meilleur des cas je n'ai trouvé qu'un R2 de 120mm....


J'ai absolument besoin de ce résultat pour avancer dans mon PFE... si quelqu'un pouvait m'aider je lui en serai très reconnaissant. Je me perd à chaque fois dans les développements et je ne trouve jamais deux fois de suite la même valeurs...

Je remercie d'avance l'âme charitable qui pourrait m'aider à trouver la clé de ce problème.

[Omega3.0]

Bonjour,
Effectivement les calculs pour trouver l'intersection de 2 cercles sont plutôt lourds.
Le résultat se trouve sur le site :

http://math.15873.pagespro-orange.fr/IntCercles.html

Bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[django2013]

Bonjour Omega3.0,

Merci beaucoup pour ce très bon lien,

Malheureusement il n'intègre pas la condition de tangence mais uniquement l'intersection en deux point. De ce fait le rayon variable R2 n'est pas pris en compte.

Pour autant cela reste une très bonne base de départ merci =)

[Omega3.0]

Bonjour,
Il faut adapter à ton cas particulier.
Comme l'a dit "Neluge":
La configuration de tangence correspond au cas ou cette équation a une unique solution : vous écrivez que le discriminant doit être nul. C'est une équation en R2.

[Neluge]

Bonjour,

Les calculs ne sont même pas si lourds, mais vous les présentez mal ; ils devraient tenir sur une page bien présentée ! En reprenant les notations de mon premier post, en faisant la différence des deux équations, vous obtenez simplement :
avec
(quand vous faites des calculs, donnez des noms aux constantes qui ont des expressions un peu compliquées pour ne pas vous les trainer tout au long des calculs).
La substitution dans la seconde équation de cercle donne :

Il suffit ensuite d'écrire que le discriminant doit être nul, ce qui va vous donner une équation du second degré en R2 de discriminant toujours positif ; vous avez donc deux solutions, qui correspondent aux deux configurations que j'ai décrites.
Bref, essayez juste d'être plus organisés dans la manière dont vous faites les calculs, et vous devriez aboutir au résultat en quelques lignes !

[django2013]

Bonjour,

Merci de votre aide et de votre soutien.

Grâce à votre simplification j'ai pu effectuer le calcul rapidement. Néanmoins je ne trouve toujours pas la valeure souhaitée.
Pour vérifier j'ai remplacé dans l'équation de l'égalité des deux cercles R2= 184.5575, valeur du rayon pour un unique point tangent. Lorsque je fais cela je devrait trouver un delta d'environ 0 mais dans mon cas je me trouve avec un delta de plus de 5000 soit très loin d'avoir une unique solution....

Je me demande donc si la méthode est la bonne et comment expliquer une si grande disparitée??

[django2013]

Pour la trente ou quarantième fois j'ai refais le calcul.... Je n'ai encore jamais trouvé le R2 de 184.5575 que je devrais trouver. Ne pensais vous pas que ce problème vienne du fait que l'on remplace y2 par R2 dans l'équation du cercle? J'ai l'impression qu'il manque une info ou une équation supplémentaire pour pouvoir trouver. Ou bien ne pensais vous pas que je devrais résonner différemment, en vectoriel par exemple ou bien d'une autre manière ??

Cela fait plus d'un mois que je suis la dessus et je suis à bout à force de ne pas trouver. Si quelqu'un pouvait me venir en aide cela m'arrangerai grandement et me permettrait de valoriser d'avantage mon stage. Les étapes pour trouver l'intersection entre les deux cercles ne me posent pas de soucis mais tout ce complique lorsqu'il faut isoler R2 pour trouver sa valeur lorsque l'intersection des deux cercles ce fait en un unique point. Il doit sur ment me manquer une condition mais laquelle?? Ou bien est-ce juste moi qui cumul les erreurs de signe ?!

[Neluge]

Bonjour,

Il ne manque pas de condition, le raisonnement doit marcher. Quand vous écrivez que le discriminant est nul, vous trouvez une équation en R2 ; si, en réinjectant la solution R2 que vous trouvez, ça ne fait pas 0, cela signifie juste que vous avez fait une/des erreur(s) de calcul.
Relisez vos calculs, postez-les éventuellement, mais la je ne peux pas vous aider plus...

[topmath]

Bonjour:

D’ailleurs aucune information sur la distance , encore une contradiction sur les image entre Images attachées du 1ie message ( passe par l'origine du repère) et entre la première image Miniatures attachées du #3 message ou l'on vois clairement que cette distance ne passe pas par l'origine !!

Cordialement

[django2013]

Bonjour,

contrairement au premier message la distance L ce trouve directement sur l'axe des X. C'est pour cela que j'ai bien precisé dans mon deuxième message que j'avais commis une erreur dans le premier schema et que je le corrigeai dans le nouveau schema que j'apportai.

Merci de votre remarque, néanmoins lisez le texte qui va avec les images où je precise bien qu'il y avait erreur de ma part dans le premier message

[topmath]

Bonjour :

Cette distance est limiter entre quoi ... je veux dire les points qui la délimite car elle n'est pas bien , précise même pour le second schéma (supposer corriger) et pour que tout le monde comprennent et par la suite peuvent contribue merci.

Cordialement

[django2013]

Cette distance est limitée d'un coté au point A, origine du repère, et de l'autre coté par le point matérialisé par l'intersection de l'axe x avec l'arc de rayon R1.

J'espère que cette précision vous sera suffisante et n'hésitez pas à me faire parvenir vos interrogations si vous n'avez pas compris un point ou l'autre.

Merci d'avance pour votre aide.

Cordialement

[Omega3.0]

Bonjour,
Lorsque les 2 cercles sont tangents la distance entre les centres est égale à la somme des rayons.

d'ou (Yb - R2)^2 + + Xb^2 = (R1+ R2)^2

et R2 = (Xb^2+ Yb^2 -R1^2)/2*(Yb + R1)


Avec les notation suivantes Cercle 1 ( Xb, Yb, R1)
Cercle 2 ( 0, Y2, R2) (R2 = Y2)

J'ai testé cette solution sur GeoGebra pour 3 couples de valeurs Xb, Yb. => Ok

[django2013]

Merci beaucoup Omega 3.0 grâce à votre hypothèse de distance entre les centres égale à la somme des rayons m'as permis d'intégrer tous les paramètres dans mon équation,

Cela fut laborieux mais j'y suis arrivé,

Merci à toute la communauté !!