Anneau

invite52487760 · 06/04/2015, 00h28

Bonsoir à tous,

J'ai besoin de comprendre la chose suivante :

Soit $\text{[math]}$ a noetherien local domain ( en anglais ) de dimension $\text{[math]}$ .
Alors, si $\text{[math]}$ est un anneau à valuation discrète, alors : $\text{[math]}$ est un idéal principal.
On a donc : $\text{[math]}$ . Alors : $\text{[math]}$ .

Ma question est :

Pourquoi : $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ module engendré par $\text{[math]}$ et, "annihilated by" ( en anglais ) $\text{[math]}$ ?

ça doit être facile à comprendre, mais, je suis complètement perdu sur cette question.

Merci d'avance pour votre aide.

invite90034748 · 06/04/2015, 23h33

Salut, on a l'égalité trivial m*m^n = m^(n+1) donc en particulier m*mˆn est zéro dans le quotient...

invite90034748 · 07/04/2015, 12h32

Je developpe un peu.
Un A-module M est un module muni d'un loi : A -> End(M), i.e a chaque a est associe un endomorphisme de M.
Par la propriete universelle du quotient, une loi : R/m -> End(M) existe si et seulement si une loi R -> End(M) existe, et est nulle par multiplication par elements de m (ici c'est bien le cas par mon message precedente).
Maintenant, comme m^n = (x^n), x engendre m^n et finalement comme m^n/m^n+1 est un quotient de m^n c'est toujours engendre par x.
On a une description plus precise de l'ideal m^n/m^n+1 : c'est les elements de la forme tx^n, avec t une unite de R.
Tu peux penser dans un exemple concret (en fait c'est le seul ici) avec R = l'anneau local d'une courbe algebrique en un point P, et m = m_P = l'ideal maximal associe a P. Si c'est un point regulier alors m est principal.
( C'est fait dans le Hartshorne ou le Atiyah-MacDonald. )

**Universus** · 07/04/2015, 16h13

Bonjour,

Envoyé par chentouf

Pourquoi : $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ module engendré par $\text{[math]}$ et, "annihilated by" ( en anglais ) $\text{[math]}$ ?

Envoyé par petrifie

Maintenant, comme m^n = (x^n), x engendre m^n et finalement comme m^n/m^n+1 est un quotient de m^n c'est toujours engendre par x.

Je ne saisis pas pourquoi l'anneau $\text{[math]}$ devrait êtré généré par (la classe d'équivalence de) $\text{[math]}$ plutôt que par (la classe d'équivalence de) $\text{[math]}$ ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite90034748 · 07/04/2015, 16h50

Ah je suis stupide, danbs ma tête j'ai raisonné en tant que $\text{[math]}$ module en fait et pas en tant que $\text{[math]}$ module ... Je me suis trompé, c'est bien engendré par la classe de $\text{[math]}$ tu as raison.

**Universus** · 07/04/2015, 18h06

Le message initial souffrait aussi de cette coquille, alors c'était facile de s'y prendre ! Au moins, cela a été mis au clair !

invite90034748 · 07/04/2015, 18h22

Oui, merci beaucoup ! En plus c'etait bien ecrit qu'on le considerait comme $\text{[math]}$ module ...

invite52487760 · 07/04/2015, 18h59

Bonjour à tous,

Merci d m'avoir répondu à mes questions, même si je n'ai pas encore bien saisi vos idées.
En fait je veux savoir pourquoi pourquoi la dimension de $\text{[math]}$ en tant que $\text{[math]}$ est soit $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ . Pouvez vous m'expliquer ça ?

Merci d'avance.

invite52487760 · 07/04/2015, 19h08

Voici où se trouve l'énoncé : math.stanford.edu/~vakil/725/class16.pdf , page : 2.
Merci de m'aider.

invite90034748 · 07/04/2015, 19h18

La dimension d'un module c'est la plus grande chaine de sous-module. Or ici un sous-module c'est exactement un ideal. Bon alors il y a essentiellement trois ideaux dans $\text{[math]}$ : 0, tout et l'ideal engendre par $\text{[math]}$ . (c'est un anneau local).
Donc la dimension du quotient en tant que $\text{[math]}$ module est 0 si $\text{[math]}$ , et sinon la dimension est 1. Mais bon ca risque pas d'arriver ici (que x soit nilpotent), vu qu'on a un anneau de valuation discrete. Par consquent, la dimension est 1.
(sauf erreur)
Essaye de bien comprendre comment fonctionne un anneau de valuation discrete. Il y a plein de caracterisation equivalente sur wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_valuation_ring
Disons le plus simple c'est de prendre l'anneau local en 0 de la droite affine disons. Ici $\text{[math]}$ Les fonctions ressemblent a $\text{[math]}$ avec a,b qui sont non nul en zero. Ici ma fonction precedente fait partie de $\text{[math]}$ mais pas $\text{[math]}$ . Si tu veux les inverser il faut tout simplement que n=0, i.e $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ . On a alors tres simplement $\text{[math]}$ . Bonne continuation !

invite52487760 · 07/04/2015, 19h24

Merci. J'aimerais pouvoir calculer cette dimension à partir du raisonnement qui se trouve à l a page : 3 du pdf précédent. L'as tu parcouru ?
Merci d'avance.

invite90034748 · 07/04/2015, 19h25

Ah tout ce que j'ai dit est vrai mais un exemple encore plus simple est de remarquer que* $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ espace vectoriel ! En fait $\text{[math]}$ est maximal donc on parle de $\text{[math]}$ module depuis tout a l'heure mais on devrait plutot parler d'espace vectoriel !
Bref toujours est il que $\text{[math]}$ est generateur de ton $\text{[math]}$ espace vectoriel. Il y a alors deux solutions : soit x est nilpotent d'ordre n et alors tu obtiens l'espace vectoriel nul ou alors sinon c'est un brave espace vectoriel de dimension 1.

Edit : comprends tu mon raisonnement ? ce n'est pas complique : tu as un espace vectoriel engendré par un vecteur v. Sa dimension est 1 ou 0, suivant que v = 0 ou non.

invite52487760 · 07/04/2015, 19h32

Merci, mais $\text{[math]}$ c'est $\text{[math]}$ ou bien $\text{[math]}$ , sur ce pdf, on précise que c'est $\text{[math]}$ . Est ce correct ?
Merci d'avance.

invite90034748 · 07/04/2015, 19h36

Je pense que c'est $\text{[math]}$ , parce que $\text{[math]}$ n'est pas element de de V. D'ailleurs a la fin de ton PDF on precise bien que c'est $\text{[math]}$ l'element non nul de $\text{[math]}$ . Tout d'abord il precise que $\text{[math]}$ est engendre par x en tant que $\text{[math]}$ -module ce qui est clair. Ensuite je pense qu'il parle de l'image de l'ideal (x) dans le quotient $\text{[math]}$ , il y a sans doute un petit abus de notation.
Mais ce n'est pas tres grave puisque tu sais que $\text{[math]}$ donc c'est pas tres sorcier encore une fois de trouver la dimension ...

invite52487760 · 07/04/2015, 19h46

Merci.
D'après ce même pdf, on précise que : $\text{[math]}$ annule $\text{[math]}$ en tant que $\text{[math]}$ - module généré par $\text{[math]}$ . Peux tu m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance.

invite90034748 · 07/04/2015, 19h48

Tu peux pas me faire ca apres toute mes explications !!!!!!!
Tu es revenu a ta question de depart.
Ca decoule de la definition d'un quotient, d'un produit d'ideaux et d'une partie annulatrice ! Qu'est ce qui te bloque ?

invite52487760 · 07/04/2015, 20h02

Je n'ai rien compris sincèrement, et ce depuis le début.
D'abord, je ne sais pas la différence entre :
- $\text{[math]}$ en tant que $\text{[math]}$ module engendré par $\text{[math]}$ .
- $\text{[math]}$ en tant que $\text{[math]}$ module engendré par $\text{[math]}$ .

La loi du premier cas, j'imagine, que c'est définie par : $\text{[math]}$ , avec : $\text{[math]}$ la surjection canonique, non ?
Par contre, la seconde est définie par : ... je ne sais pas. Par quelle loi ?

Edit : Ben, pour la seconde loi : $\text{[math]}$ , non ?

invite52487760 · 07/04/2015, 20h11

la première loi est définie par : $\text{[math]}$ , non ?

m annule $\text{[math]}$ , parce que : $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , d'où, m annule : $\text{[math]}$ , non ?

invite90034748 · 07/04/2015, 20h14

D'accord.

Un A-module M genere par x ca veut dire que Ax = M, il est genere lineairement (un peu comme dans les espaces vectoriels).

Premierement x n'est pas dans $\text{[math]}$ . Ca n'empeche pas a ce brave espace vectoriel d'etre genere par x : vu que ses elements sont de la forme w = t.x^n, on a en particulier w = x.(t.x^{n-1}) et donc x genere bien tout element de $\text{[math]}$ en tant que R-module (ca veut dire quoi, relis la ligne au dessus).
Dans le deuxieme cas c'est encore plus simple c'est juste les elements t.x^n avec t inversible (ou dans R/m si tu prefere). Ca fait bien un espace vectoriel (definition : un espace vectoriel est un A-module, avec A un corps).

La loi elle est definie par la propriete universelle du quotient. T'as aucune fleche naturelle de m vers m^n, elle va plutot dans l'autre sens car m^n est inclus dans m (par definition d'un ideal).

Avant de continuer, je pense que tu devrais reprendre les notions de quotients d'ideaux, etc... Idealement (hehe) fait a fond le premier chapitre du livre d'Atiyah MacDonald. Il me semble que sans algebre commutative essayer de faire de la geometrie algebrique c'est un peu comme faire de la topo differentielle sans avoir fait de calcul differentiel avant.

invite90034748 · 07/04/2015, 20h18

Je dois y aller (j'ai pas mange depuis un petit bout de temps ^^) mais je pense qu'avec ca + ma reponse sur ton exercice de Fulton tu as de quoi reflechir. Tu as l'air de poser beaucoup de questions et c'est tres bien mais n'oublie pas que plus tu essaye d'y repondre par toi meme et plus tu deviens bon.
Bonne soiree et bonne chance !

invite52487760 · 07/04/2015, 20h20

Merci. $\text{[math]}$ annule $\text{[math]}$ , parce que : $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , d'où, $\text{[math]}$ annule : $\text{[math]}$ , non ?

invite90034748 · 07/04/2015, 21h01

Oui, c'est ca.
Essaye de reflechir a l'autre thread aussi si tu as le temps. Je pense que l'exercice est interessant.

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