Union et somme d'idéaux principaux

[Edvart]

Bonjour,
Dans la preuve de la proposition que tout diviseur commun d' à a et b divise le PGCD(a; b) d, une étape me perd un peu :
Soient a,b deux éléments d'un anneau principal A, d leur PGCD, d' un diviseur commun à a et b
aA inclus dans d'A
bA inclus dans d'A
Donc union de aA et bA inclus dans d'A
Donc somme de aA et bA inclus dans d'A

Pourquoi l'union a-t-elle cette conséquence sur la somme? Si on prend les idéaux 12Z et 16Z, 28 ne fait pas partie de de l'union de 12Z et 16Z... après je vois évidemment que 4 divise 28 mais est-ce si évident? S'il s'agit de dire que d' divise a et d' divise b sont d' divise a+b, pourquoi l'étape sur l'union?
Merci d'avance!
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[invite90034748]

N'oublie pas que tu as un ideal.
En fait comme tu as raison, verifier que n'est pas suffisant.
Mais en fait tu as un exercice tres simple : soit des sous-ensembles de et un ideal. Alors, .
Ce qui reponds a ta question.

[minushabens]

Dans la preuve de la proposition que tout diviseur commun d' à a et b divise le PGCD(a; b) d

C'est pas la définition du PGCD ? : PGCD = plus grand (au sens de la divisibilité) diviseur commun...

[invite90034748]

Soit un anneau principal. Le PGCD de est l'ideal engendre par .

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

Soit un anneau principal. Le PGCD de est l'ideal engendre par .

par a et b.

[invite90034748]

Oui, je pensais a en fait...

[minushabens]

C'est vrai que la définition comme "plus grand..." n'est pas très bonne puisqu'on n'a pas la preuve qu'il existe un plus grand diviseur commun, si on n'a pas d'algorithme euclidien.

[invite90034748]

Oui, je viens de voir sur Wikipedia qu'il y avait meme des "anneaux a PGCD" !

Sur wikipedia, donne l'exemple de et qui n'ont pas de PGCD dans . http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_%C3%A0_PGCD