Diverses questions basiques en théorie des groupes et des représentations

[freemp]

Bonjour à tous.

J'aurai diverses question sur un cours de théorie des représentations que je suis entrain d'apprendre via un pdf en ligne.
Soyez "indulgent" avec moi car ça fait 3 ans que je n'ai pas fait d'algèbre du point de vue "maths", et je ne suis pas super à l'aise avec les groupes & co, je reprends un peu tout ça donc certaines questions vous sembleront évidentes à répondre !

Ma première question est la suivante :



Pourquoi on a forcément E1 et E2 en somme directe ?

On peut très bien avoir deux e-v qui ne sont pas en somme directe..?

Merci !
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[Universus]

Bonjour,

Étant donné deux espaces vectoriels, nous n'avons a priori que deux espaces vectoriels, sans plus. Ils ne sont reliés d'aucune façon.

Ce que la définition donnée dans l'image dit en particulier, c'est que nous pouvons construire un troisième espace vectoriel appelé « somme directe ». Ce n'est pas forcé, ce n'est que permis. Plus généralement, la définition donnée dans l'image indique que nous pouvons construire la somme directe de deux espaces vectoriels représentés et ainsi obtenir un troisième espace vectoriel représenté.

Par contre, du point de vue de la théorie des représentations, les sommes directes (de représentations) sont des constructions naturelles à considérer, car elles sont clairement construites à partir de deux représentations plus petites. Cela soulève la question suivante : existe-t-il une représentation qui soit indécomposable (dans un sens approprié) ? En un sens, la théorie de la représentation se résumerait alors à :

a) Connaître les représentations indécomposables
b) Trouver des méthodes, des constructions (telles que la somme directe) pour construire de nouvelles représentations à partir de représentations (indécomposables)
c) Étant donnée une représentation, déterminer si elle s'obtient via une des constructions de la partie b) et si oui, l'est-elle de diverses façons ?

Donc, en théorie des représentations, l'étude de la somme directe est naturelle, voire forcée si vous tenez à ce mot

[freemp]

Bonjour,

Désolé je ne suis pas sur de comprendre.

Prenons E1 un plan vectoriel, et E2 une droite de ce plan

Il est impossible d'avoir E1 et E2 en somme directe.

Donc dans la définition il faudrait une hypothèse en amont "Si il est possible de construire E=E1+E2, alors blablabla" (mon + correspond au + de la somme directe ici).

Merci !

[gg0]

Bien sûr que si il est possible de construire un espace vectoriel somme direct de E1 et E2. Il est construit sur l'ensemble des couples (x,y) d'un élément de E1 et un élément de E2, avec les lois adaptées.
Ce qui poserait problème serait d'avoir des espaces vectoriels sur des corps différents. Mais avec des ev sur le même corps, pas de souci.

Cordialement.

Nb : Ne pas confondre "être en somme directe" et "avoir une somme directe".

[A voir en vidéo sur Futura]

[freemp]

Hmmm désolé, mais pourriez vous me dire pourquoi mon contre exemple n'est pas valable afin que je comprenne ?

On a aucune restriction sur les espaces vectoriels considérés.

(Par ailleurs quelle est la différence entre "être en somme directe" et "avoir une somme directe").

Merci

[gg0]

Tu confonds vraiment être et avoir ????

Ton "contre exemple" n'en est pas un car il ne parle pas d'avoir une somme directe (avoir la possibilité de construire un espace vectoriel dont deux sev en somme directe sont justement ceux qu'on veut -à isomorphisme près); dans ton "contre exemple", tu parles d'être en somme directe. Comme sous-espaces vectoriels de E, ils ne sont pas en somme directe, ce qui n'empêche pas qu'ils ont une somme directe.

Ces notions sont assez classiques, même si on les étudie rarement au niveau L1. Tu peux voir cette discussion ancienne.

Cordialement.