Théories de jauges - Exercice

[Le petit belge]

Bonjour,

Soit l'expression:



où est la dérivée covariante construite de telle manière à avoir invariance sous transformation de jauge locale SU(2).

Posons .

Supposons que soit un triplet SO(3) et un singlet SO(3).

Ma question: comment doivent se transformer les champs de jauge pour avoir invariance de l'expression du dessus sous SO(3) global?

Remarque: les sont les indices d'espace-temps (ils prennent les valeurs 0,1,2,3) et les a prennent les valeurs 1,2,3. Les sont les matrices de Pauli.

Je ne sais pas par où commencer, et les calculs deviennent vite laborieux... Peut-être existe-t-il une méthode simple, mais je ne la vois pas.

Merci d'avance pour votre aide!
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[Universus]

Bonjour,

Soit l'expression:



où est la dérivée covariante construite de telle manière à avoir invariance sous transformation de jauge locale SU(2).

Posons .

Supposons que soit un triplet SO(3) et un singlet SO(3).

Ma question: comment doivent se transformer les champs de jauge pour avoir invariance de l'expression du dessus sous SO(3) global?

Remarque: les sont les indices d'espace-temps (ils prennent les valeurs 0,1,2,3) et les a prennent les valeurs 1,2,3. Les sont les matrices de Pauli.

Je ne sais pas par où commencer, et les calculs deviennent vite laborieux... Peut-être existe-t-il une méthode simple, mais je ne la vois pas.

Merci d'avance pour votre aide!

Bonjour,

Par « singlet » et « triplet » SO(3), entendez-vous des éléments des (espaces vectoriels sous-jacents aux) représentations irréductibles de dimension 1 et 3, respectivement, de SO(3) ? Si oui, alors u est laissé invariant sous l'action de SO(3), ce qui n'est pas le cas de chacune des composantes du triplet . Vous êtes pour ainsi dire en train d'étudier une « représentation affine » du groupe SO(3) et je n'ai jamais vu cela dans mes études des théories de jauge. Et encore, vue l'allure globale de , cela n'est probablement pas une « représentation affine », qu'importe le sens qu'on donne à cela... la scission de en et en m'est incompréhensible considérant l'irréductibilité de la représentation tridimensionnelle.

Cordialement