Peut-on rendre continue le développement de Taylor de l'exponentiel ?

[-Alex68-]

Bonjour,

On a



mais a-t-on


où ici

et peut-être x>0
?

Quelqu'un aurait le moyen d'évaluer cette dernière fonction en 1 ?

Merci
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[ansset]

je ne comprend pas ta deuxième expression.
que veut dire t! pour un réel ?
Cdt

[Médiat]

je ne comprend pas ta deuxième expression.
que veut dire t! pour un réel ?
Cdt

Bonjour,

C'est la fonction comme l'a indiqué -Alex68- : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gamma

[Dynamix]

Salut
La dernière formule n' est valable pour t entier .
Ton intégrale n' a de sens qui si tu remplaces t ! par la fonction gamma de t+1
Telle que tu l' a écrite , elle ne veux rien dire .

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

@mediat
oui je connais la fonction
mais tu ne réponds pas vraiment à sa question
Par contre on a bien
( sauf erreur ou erreur de frappe Latex )
( pour les entiers justement )

Dynamix est plus précis, mais un petit complément d'info serait bienvenu.
Cdt

[Médiat]

Ce que veut dire -Alex68-, c'est, : est-ce que

[-Alex68-]

A Dynamix :

Oui je sais bien, c'est pour cela que j'ai défini le factoriel à l'aide de la fonction Gamma qui le généralise, pour la deuxième formule. Ça permet aussi de garder l'intuition de ceux qui ne connaissent pas la fonction Gamma.

Bref, ça a pas l'air trop absurde non ? mais comment calculer un tel truc ?

[gg0]

Bonjour.

Pour x=0, ça donne C=-1; ça n'a pas l'air d'être bon pour x=1, l'intégrale valant approximativement 2,27, loin de e-1.

Cordialement.

[-Alex68-]

Merci pour votre réponse, oui effectivement, ça n'a pas l'air très consistant, mais je me méfie du prolongement en zéro, car pour l'intégrant t entre zéro et 1, Gamma(1+t) est environ de 1 (0! = 1! = 1), donc on a cette approximation sur [0,1]:

qui diverge vers plus l'infini quand x tend vers zéro.
Donc la fonction n'est pas définie en zéro, mais peut-être prolongeable ? La question semble toujours tenir.
Je suis curieux de savoir par quel moyen vous avez approximé l'intégrale en 1 ? Je n'ai rien trouvé de satisfaisant niveau software, et plus formellement, je suis assez démuni.

[gg0]

Il me semblait que Gamma(1) vaut 1, mais en tout cas, pas de prolongement en 0, car si Gamma(1) existe et n'est pas nul, on intègre 0 (0^t=0).

Pour l'intégrale en 1, une intégration approchée donne déjà 2,27 sur [0,10] et les intégrales sur des intervalles [10n, 10n+10] sont chacune inférieure à la précédente de plusieurs ordres de grandeur. Et comme le comportement de la fonction à intégrer n'a pas de raison de varier ... Mais on peut sans doute mathématiser ça.

Cordialement.

[Universus]

Bonjour,

Posons pour . Alors nous calculons



où

Cette équation différentielle n'est pas satisfaite par la fonction , donc la question posée a une réponse négative.

[-Alex68-]

Ok, merci bien ! Donc pour compléter le raisonnement, ce calcul rend clair le fait que cette fonction soit asymptotiquement équivalente à l'exponentiel pour x grand, mais pas du tout près de zéro.

[-Alex68-]

(je suis toujours intéressé si quelqu'un connaît un moyen d'approximer de telles intégrales, numériquement/informatiquement)

[Universus]

L'équivalence ne m'apparaît pas claire : même si la fonction C tend vers 0 quand x tend vers l'infini positif, il se peut que son intégrale converge vers l'infini.

Nous pouvons tenter une solution de la forme , dans quel cas . En supposons que est de la forme , nous obtenons l'équation différentielle . Selon Wolfram alpha, la solution générale est , d'où



Comme gg0 l'a fait remarqué, nous voulons ici , ce qui force . Ainsi,



En x=1, nous avons

[-Alex68-]

Ok, joli résultat. Du coup cette formule nous donne la manière dont f(x) s'éloigne de exp(x) proche de zéro, et s'en approche pour x grand. Merci bien