Puissance de 2

[zozefa]

Bonjour,

Soit un entier strictement positif. Auriez-vous une preuve rigoureuse du fait élémentaire suivant, si possible sans récurrence :

il existe un unique tel que .

?

Pour la partie existence j'ai une preuve vraiment pas belle avec disjonction de cas suivant la parité de n, j'aimerais bien autre chose..
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[Médiat]

Bonjour,

Montrez-nous ce que vous avez-fait, ce sera plus facile et plus efficace d'intervenir.

[zozefa]

Existence : si n est pair alors il existe tel que et on a bien . Si est impair et différent de 1 (si c'est trivial, ) alors on fait la même chose que dans le cas pair.

Unicité : supposons qu'il existe tel que et . J'ai essayé de montrer que mais n'y suis pas parvenue.

Globalement, je n'aime pas cette preuve même si j'imagine qu'elle est finissable et j'aimerais si possible une preuve non calculatoire.

Remarque : il n'y a pas le bouton LaTeX (?)

[Médiat]

Existence : si n est pair alors il existe tel que

Cela commence mal : essayez avec n = 6.

En mode avancé il y a un bouton [Tex]

[A voir en vidéo sur Futura]

[zozefa]

Ok ma preuve est fausse du coup.

[zozefa]

Je vais admettre ce résultat qui est plus difficile que je le pensais.

[Tryss]

Pour la partie existence, on peut raisonner ainsi :

Considérons l'ensemble



est non vide, car , donc

admet donc un plus petit élément noté

et alors on a :

• 
• car

D'où le résultat

[zozefa]

Merci !

Et pour la partie unicité, quelle est la méthode à adopter ?

[Matmat]

Merci !

Et pour la partie unicité, quelle est la méthode à adopter ?

Une fonction strictement monotone est injective

[zozefa]

Pardon de revenir sur ça mais de quelle fonction parlez-vous ?

[zozefa]

Je relance.

[zozefa]

(sur la partie unicité)

[Universus]

Bonjour,

Tryss a défini comme étant le plus petit entier tel que . D'une part, ceci implique . D'autre part, ceci implique que tout autre entier tel que vérifie . Est-il alors possible que ?