Convergence uniforme pour un exemple

[The_Anonymous]

Bonjour tout le monde!

J'ai rencontré un problème pour démontrer qu'un exemple de suite de fonctions converge uniformément. Voici l'énoncé :

À chaque entier , on associe la fonction définie par

.

Montrer que la suite est uniformément convergente.

(On nous donne aussi pour indication d'utiliser la propriété , une fois démontrée.)


J'ai tout d'abord essayé de calculé un candidat de limite potentiel. En utilisant la limite dont le résultat avait été prouvé précédemment dans mon cours, j'arrive à la conclusion que la limite vaudrait .

J'utilise alors la définition de la convergence uniforme dans mon cours qui est la suivante :

La suite de fonction converge uniformément vers si

.


D'après le calcul de mon candidat, j'ai donc . Il me paraît évident que .

J'utilise maintenant l'indication donnée dans l'énoncé en la supposant vérifiée (cf. ci-dessous). Je déduis de cette indication que .

J'obtiens alors .

Mais il m'est alors impossible de trouver un rang désiré pour obtenir la convergence uniforme puisque .

Mon raisonnement est-il correct? Est-ce que j'ai trop majoré et c'est donc pour cela qu'il m'est impossible de conclure? Si oui, où m'arrêter ? Si non, comment m'y prendre?



Quant à l'indication, je peine à la démontrer... Je pensais utiliser la récurrence, les autres méthodes les plus courantes ne me semblant que très peu commodes ici (je ne vois pas ce que l'approche par l'absurde apporterait, ni quelconque autre méthode).

J'ai donc commencé à rédiger la preuve de l'indication. J'ai fait l'hypothèse et la vérification de sans problème bien sûr. Pour faire le pas de récurrence, je suppose vérifiée et je démontre .

Mais c'est là que je reste coincé... Je ne vois pas quoi tirer de la supposition, comment utiliser l'information pour pouvoir démontrer le résultat?

Merci d'avance pour toutes les réponses!

Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

Je ne sais pas pourquoi, mais j'aurais été tenté d'écrire quelque chose comme


Pour la propriété à prouver, comme les arguments sont positifs, un passage en écriture exponentielle, ou (ce qui revient au même) le calcul des logarithmes des deux membres devrait permettre d'avancer (sans récurrence). Ou une étude des variations de la fonction


Cordialement.

NB : Attention à ton sup, pour n et x petits, il est faux, le terme entre valeurs absolues est négatif. mais comme on s'intéresse à n grand, il suffit de faire la bonne remarque.

[The_Anonymous]

Bonjour.

Je ne sais pas pourquoi, mais j'aurais été tenté d'écrire quelque chose comme


Pour la propriété à prouver, comme les arguments sont positifs, un passage en écriture exponentielle, ou (ce qui revient au même) le calcul des logarithmes des deux membres devrait permettre d'avancer (sans récurrence). Ou une étude des variations de la fonction


Cordialement.

NB : Attention à ton sup, pour n et x petits, il est faux, le terme entre valeurs absolues est négatif. mais comme on s'intéresse à n grand, il suffit de faire la bonne remarque.

Bonjour,

Merci pour votre message!

• J'ai repris mon raisonnement en tenant compte de la forme . En appliquant la définition de mon cours, j'essaie de trouver un avec tel que . Après calculs, j'ai pu observer que , .
  
  
  Or, l'expression est alors décroissante (propriété à démontrer, point 3) pour et tend vers quand tend vers l'infini (résultat déjà vu).
  Mais alors, on a
  , tel que , alors .
  
  
• Je pense avoir trouvé un argument sur votre piste mais il me semble quelque peu compliqué. Je pose , et . Comme la fonction exponentielle est croissante, je vérifie que la fonction est décroissante pour .
  En effet, et comme , alors on a bien que la fonction est décroissante après , c'est-à-dire que .
  
  
• J'avoue ne pas comprendre votre NB. Même si on prend le le plus petit et le le plus petit, à savoir et car et , on obtient . Donc, sauf erreur, de toute façon le terme entre valeurs absolues est positif. Les valeurs absolues me semblent presque superflues du coup. Mais quoi qu'il en soit, même s'il était négatif, en quoi serait-il faux puisqu'il est entre valeurs absolues justement? Je ne sais pas si je passe à côté de quelque chose

Bon week-end!

Cordialement

[gg0]

Oublie mon NB, j'avais raté que x>1.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]