Tableau dont la somme de chaque ligne et de chaque colonne est nulle

[mr_Y]

Bonjour à tous !
Je bloque sur le problème suivant car je manque de culture mathématique, pouvez-vous m'aider en m'aiguillant vers des façons de l'appréhender ?

Vous n'êtes pas obligé de lire le pavé qui suit, vous pouvez directement passer au système d'équations et d'inégalités à la fin !
(De même, si vous avez un meilleur titre de sujet à me proposer, je suis preneur !)

L'intitulé de mon problème est le suivant :

Soit en entrée un tableau de colonnes et de lignes.
Une solution, si elle existe, est un tableau de même dimension et un coefficient strictement positif pour chaque colonne sachant que :

1. Chaque case du tableau de sortie est au moins supérieur ou égal à la même case du tableau d'entrée
2. La somme de chaque colonne est nulle
3. Si on multiplie les valeurs de chaque colonne par le coefficient correspondant, la somme de chaque ligne est nulle
4. Si deux lignes sont identiques dans le tableau d'entrée, elles sont identiques dans le tableau de sortie

Pour simplifier le problème, j'ai déjà choisi de chercher pour le cas où :

Chaque ligne est un couple de valeur. On peut donc formaliser pour chaque contrainte que :

1. et pour tout de à avec et les valeurs d'entrée et et les valeurs recherchées
2. et
3. Soit et les coefficients des deux colonnes, on a : pour tout de à .
4. Je ne sais pas formaliser cette contrainte !

Pour le cas :
la seule solution est :
seulement quand et , sinon il n'y a pas de solution.

Pour le cas :

Si ou n'est pas dans un intervalle valable, il n'y a pas de solution.

Parcontre pour le cas , je suis complètement perdu !

Pour tout de à , connaissant et , on cherche et , et et , tel que :


Exemple :


Une solution possible trouvée à la main :


Une autre solution possible :


Ce que j'ai trouvé pour l'instant :

• Si ou , il n'y a pas de solution.
• Chaque couple peut définir un point dans le plan sachant qu'il se trouve forcement en haut à droite du point , et que chaque point se situe sur une même droite qui passe par l'origine avec pour coefficient directeur pour tout de à
• 

Déjà, est ce que je me suis trompé ? J'ai oublié des choses ? Merci de m'aider à avancer !
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