limites supérieurs

[Bichonfrise]

Bonjour, j'ai des difficultés à faire des démonstrations en maths, je suis en train de faire un exo:
2. Soient (xn) et (yn) deux suites bornées.
(a) Démontrez que lim sup(xn + yn) ≤ lim sup(xn) + lim sup(yn).
(b) Donnez un exemple où l’inégalité précédente est stricte.
(c) Démontrez que si l’une des deux suites est convergente, il y a égalité.

u(n) = Sup( xk | n≤k ) et v(n) = Sup( yk | n ≤ k ) et w(n) = Sup( xk + yk | n≤k )

w≤v+u

Donc limsup(x + y) ≤ limsup(x) + limsup(y)

(b) Xn= (-1)^n et Yn= (-1)^(n+1)

limsup(x)= 1 limsup(y)=1 limsup(x+y)=0

(c) si les deux suites sont convergentes alors limsup=liminf=lim

et on sait que lim(x+y)=lim(x) + lim(y)

pour le cas où une suite converge et l'autres pas, je sais pas trop comment m'y prendre
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[cleanmen]

a mon avis, il manque une ligne pour bien expliquer w <= v+u. c'est vraiment le point central de cette question.
Une idée c'est de dire:
pour tout k >= n ,
xk+yk<= u(n)+ yk <= u(n)+ v(n) ( en prenant successivement le sup sur les xj, puis les yj; pour j>=n)
donc w(n)<=v(n)+u(n) (en prenant le sup sur les xj+yj)

la fin de la demo est ok

Pour la 2c,il te suffit de montrer l'inegalité inverse pour conclure a l'egalité entre les deux quantité.
un peu comme ce que j'ai fait en haut, essaie de partir d'une inégalité valable pour tout n assez grand. Puis a passer au sup d'un coté puis de l'autre.

[Bichonfrise]

pour le (a), je sais pas si j'ai bien compris "xk+yk<= u(n)+ yk <= u(n)+ v(n) donc w(n)<=v(n)+u(n)" car w(n)= u(n)+ yk ou w(n)= v(n) + xk, ?

pour le (c), si limsup(x+y) ≠ limsup(x) + limsup(y)

alors, à partir d'un certain n, w(n) ≠ v(n)+u(n)

xk+yk ≠ u(n)+ yk et xk+yk ≠ v(n)+ xk

les deux suites ne convergent pas

[cleanmen]

Pour la (a):
par définition, donc
De meme donc
Il vient : (*).
Cette derniere égalité (*) est valable pour tout k superieur a n.

Or : donc en passant au sup dans (*) :

[A voir en vidéo sur Futura]