Propriétés de fonctions injectives

[porteclemini]

Bonjour,

Je n'arrive pas à démontrer l'implication 2 -> 3 dans la proposition suivante :

Soit une fonction. Si , les conditions suivantes sont équivalentes :
1) est injective,
2) pour tout , si , alors ,
3) il existe une fonction telle que

Quelqu'un pourrait m'aider ? Merci beaucoup !
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[gg0]

Bonjour.

Sans passer par 1, ça ne semble pas évident. Il me semble bien plus facile de montrer directement que 1 et 3 sont équivalents.

Cordialement.

[porteclemini]

Merci pour votre réponse mais même comme ça je n'y arrive pas…

[Tryss]

Soit a un élément de Y

- Soit y n'est pas dans l'image de f, et dans ce cas là, on pose g(y) = a
- Soit y est dans l'image de x, et dans ce cas par injectivité, il existe un unique x tel que f(x) = y. On pose alors g(y) = x

Peut tu montrer que ce g convient ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[porteclemini]

Soit a un élément de Y

- Soit y n'est pas dans l'image de f, et dans ce cas là, on pose g(y) = a
- Soit y est dans l'image de x, et dans ce cas par injectivité, il existe un unique x tel que f(x) = y. On pose alors g(y) = x

Peut tu montrer que ce g convient ?

Bonsoir,

Merci pour votre réponse mais je n'ai pas compris ce que faisait le a (de g(y) = a) ici… Et non, je n'arrive pas à montrer que ce g convient…

[Tryss]

Bonsoir,

Merci pour votre réponse mais je n'ai pas compris ce que faisait le a (de g(y) = a) ici… Et non, je n'arrive pas à montrer que ce g convient…

C'est juste pour que g soit définie sur tout Y, mais si y n'est pas dans l'image de f, on peut définir g(y) comme on veut.


Sinon, pour prouver que ce g convient, il suffit de l'écrire calmement :

Soit , alors , et par définition de , . C'est à dire que l'on a

Et comme c'est vrai pour tout , on a bien

[porteclemini]

C'est juste pour que g soit définie sur tout Y, mais si y n'est pas dans l'image de f, on peut définir g(y) comme on veut.


Sinon, pour prouver que ce g convient, il suffit de l'écrire calmement :

Soit , alors , et par définition de , . C'est à dire que l'on a

Et comme c'est vrai pour tout , on a bien

Un tout grand merci, voilà qu'un point s’éclaircit dans ma tête !