Problème avec loi normale

[Antoniuum]

Bonjour à tous !

Voilà voulant savoir comment on arrivait à la fameuse loi de Laplace-Gauss, j'ai regardé du côté de Sciences.ch mais vers la fin de la démonstration, j'ai deux petits problèmes qui se posent :

http://www.sciences.ch/htmlfr/arithm...ctgausslaplace

à partir de la formule 7.375 je ne comprends pas trop comment on calcule ces limites, si quelqu'un pourrait me les expliquer, ce serait gentil puis une dernière chose :
à la formule 7.390, comment fait on pour passer de l'intégrale au carré avec dx à deux intégrale avec dx et dy ? Je conçois que c'est une intégrale multiple mais je comprends pas comment passer d'une variable à deux variable !

Merci d'avance pour ceux qui prendront du temps à m'aider
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[Antoniuum]

Personne pour m'aider ?

[gg0]

Désolé,

mais je ne comprends pas grand chose à ce qu'ils racontent, avec cette double lettre n et k et ce x. A vue de nez, c'est une "preuve heuristique" (une démonstration "avec les mains") plutôt compliquée (à peu près aussi longue qu'une vraie preuve mathématique). Et des notation malsaines (= pour ~ qui parle de fonctions ou suites équivalentes).

Si tu veux vraiment comprendre, je te conseille de prendre un vrai cours de probabilités.

Pour ton autre question, c'est une formule classique sur les intégrales doubles (avec une petite tricherie sur le domaine d'intégration, comme c'est un carré, passer en polaires n'est pas possible !!) :

(sous conditions pour f et g)

Cordialement.

[Antoniuum]

Merci gg0 pour ta réponse !

Oui en effet, Sciences.ch est formidable comme site, plus que complet, tout les domaines sont présents ! Mais certaines fois, y'a des p'tites choses comme celles là !
Aurais tu un cours de probabilité à me proposer ?

Et pour l'intégrale multiples, j'avais vu cette formule mais donc l'exponentielle correspond à f(x)g(y) ? C'est cela que ne comprends pas trop

Merci en tout cas

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

L'une des variables x dans le carré de l'intégrale, tu la notes y, puis tu appliques la formule à l'envers, et tu utilises les propriétés des produits d'exponentielles. Fais le calcul toi-même pour voir.

Pour un cours, il faut voir les bouquins chez un libraire spécialisé. Ça doit être fait dans le Ouvrard, par exemple.

[Antoniuum]

Mais si je note y la variable x, on a ainsi dans la premiere intégrale :
e^(y+y)dydy ? mais alors dans le membre de droite la variable x n'apparait pas ? je comprends pas très bien appliquer la formule à l'envers !

[gg0]

On dirait que tu n'as pas vu que l'intégrale au carré est un produit de 2 intégrales. Dans l'une on laissera x, dans l'autre on remplacera la variable d'intégration par y, puisque le nom n'a pas d'importance. De cette façon, on fait apparaître le produit d'intégrales de la formule, qui donne une intégrale double.

[Antoniuum]

Si je vois bien que le carré de l'intégrale donne le produit de deux intégrales, mais en partant de la formule 7.389, on a juste intégrale de : e^(-x^2)dx.

Donc, si la variable y est totalement égale à x, pourquoi nous ne pouvons pas garder x dans la deuxième intégrale ? car enfaite -(x+y)^2, ça doit donner 0 alors.

[Antoniuum]

Rectification de mon message précédent : cela donnera -2x^2 !

[gg0]

Heu ... tu m'inquiètes ! Car si tu n'arrives pas à voir ce que donne -(x+y)^2 quand on remplace y par x (ni 0, ni -2x^2), comment comprendrais-tu le type de calcul que tu veux comprendre. Je doute même que tu aies compris les calculs précédents : Saurais-tu les faire seul ? Sans le texte pour te guider ?

En tout cas, je t'ai donné la méthode. Soit tu es capable de calculer seul, tu l'appliques et tu vois, soit il est inutile de "t'expliquer". Tu copierais des calculs que tu ne conçois pas vraiment.

Et si tu veux vraiment qu'on t'aide à comprendre, fais le travail que je te propose, écris les calculs ici (LaTeX ou photo de calculs faits à la main et lisibles) et on te dira ce qui ne va pas. Les maths ça se fait. Soi-même.

Cordialement.

[Antoniuum]

-(x+x)^2 n'est pas égale à -2x^2 ? Ah bah c'est rigolo ça...

Oui les calculs avant les limites, je comprends, mais je ne comprends pas comment passer de 1 variable à deux... la formule en prenant des fonctions quelconques d'accord mais dans ce cas précis, je ne vois pas et je ne trouve pas d'exemple identique sur le web...

[Tryss]

-(x+x)^2 n'est pas égale à -2x^2 ? Ah bah c'est rigolo ça...

Et pourtant...

[Antoniuum]

Et donc, pourquoi ne garde t-on pas cette expression ?

[gg0]

[Antoniuum]

Merci gg0, c'est cela que je voulais savoir, comme quoi ça peut paraitre tout bête mais je croyais que changer la variable quand celle ci est totalement identique n'était pas autorisé !
En tout cas, merci pour votre aide et désoler du petit dérangement !

[gg0]

mais justement, dans deux intégrales différentes, ce n'est pas une variable identique, ce sont deux fois la même lettre mais pas la même variable (la "variable d'intégration" est une pure notation, sans signification. Mais pratique pour les calculs).

[Antoniuum]

D'accord, donc oui je comprends que ces variables d'intégration sont juste des notations d'usage mais donc j'ai quand même un petit problème encore : imaginons que nous devrions écrire les intégrales sans variable d'intégration, alors le domaine d'intégrations étant le même dans les deux intégrales qui résultent du carré de l'intégrale, devraient varier dans le même domaine et selon la même fonction, c'ets ur ce point que je ne vois pas trop pourquoi les variables d'intégration devraient être différentes !

Merci d'avance

[gg0]

Que veux-tu que je fasse ?

Tu n'acceptes pas de faire fonctionner les règles de maths, il n'y a rien à faire pour t'aider ...
Peut-être cherches-tu quelque chose qui n'a rien à faire ici : "comprendre". Quel que soit le sens de ce mot pour toi. mais il n'y a rien à "comprendre" dans un calcul. Soit il applique les règles et aboutit au résultat, et c'est bon, soit il ne sert à rien.

Désolé !

NB : Si on ne note plus les variables d'intégration (ce qui est possible), elle ne sont pas différentes ou égales, puisqu'elles n'existent pas.

[Antoniuum]

Bon j'appliquerai cette méthode, merci tout de même pour avoir pris du temps, mais il est vrai que ça m'embête un peu cela, je pense que c'est surtout visuel enfaite, enfin avec le temps cela me paraitra peut être évident dans quelques temps !
Merci en tout cas

[Antoniuum]

Une dernière chose en rapport avec l'intégrale précédente : lorsqu'on passe en coordonnées polaires, je en trouve pas du tout rdrdO pour les variables d'intégration pourtant sachant qu'on a :
x= cos(O) x r
y= sin(O) x r

Ainsi en différentiant x et y, on doit voir apparaitre les différentielles totales :

dx = cos(O)dr - sin(O)rdO
dy = sin(O)dr + cos(O)rdO

Pourtant je n'arrive pas à retrouver l'intégrale, j'ai vu certaines sites que le deuxième terme était manquant, ou est mon erreur ?

[gg0]

Voir un cours sur les changements de variables dans les intégrales multiples. On ne multiplie pas dx par dy, on utilise le jacobien qui est ici r.cos²(O)+r.sin²(O).

Cordialement.

[Antoniuum]

Merci pour la réponse, oui en effet je viens de trouver des bons cours sur les transformations de coordonnées !
Je vais m'entrainer maintenant !

[Antoniuum]

Bon je reviens pour une petite chose: lors du changement de variables avec un difféomorphisme, pourquoi si dxdy représente l'aire de la surface d'un petit rectangle, dudv ne devrait pas suffire à représenter l'aire d'un petut parallélogramme ? Ou le jacobien seule puisque dans le plan par exemple, le determinant de deux vecteurs, donne l'aire du parallélogramme qu'ils délimitent ?
Ce que je veux dire c'est que pourquoi doit on mettre J x dudv ?

[gg0]

Si tu prends u=2x et v=3x, tu crois vraiment que le parallélogramme construit sur dx et dy a la même aire que celui construit sur du et dv ? Et si tu ne mets que le jacobien (6) il n'y a plus d'élément différentiel.
Regarde mieux un vrai cour pour voir ce qui se passe.

Cordialement.