Fonction directe et réciproque

[gabi13]

bonjour je m'appelle gabriel et j 'ai un exo où j'ai quelques problemes

il s'agit d'une fonction de R dans R
f(x,y) = (x+y, x-y)

Il fallait démontrer que f est injective et surjective ce qui a été facile.
f(x,y) est bijective et admet une fonction réciproque f^-1(a,b)=((a+b)/2,(a-b)/2)
Ensuite on me demande de déterliner l'image directe et réciproque de l'ensemble A ={(x,0)/x appartient à R}

f(x,o)=(x,x) donc f(A) ={(x,x)/x appartient à R) et de meme f^-1(x,0)=(x/2,x/2)
donc f^-1(A) est inclus dans {(x,x)/x appartient à R}.
Pourquoi cette inclusion ??

merci à ceux qui voudront bien m'éclairer
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas trop ce que tu écris, en particulier le "donc f^-1(A) est inclus ...".
Il me semble plus simple d'appliquer la définition de f^-1(A). Comme tu as fait pour f(A). Ou bien d'utiliser la règle qui est que l'image réciproque de A par f est l'image directe de A par f^-1, dans le cas où f est une bijection d'un ensemble dans lui-même (les deux significations de f^-1(A) coïncident).
A noter : "il s'agit d'une fonction de R dans R" est faux, c'est à première vue une fonction de R² dans R².

Cordialement.

[gabi13]

oui tu as raison c'est une fonction de R2 dans R2

pour quoi l'ensemble (x/2,x/2) est inclus dans l'ensemble (x,x) pour tout x appartient à R ?

[gg0]

Il est même égal : L'ensemble des x/2 pour x variant dans R est R. E posant x/2=y, ton (x/2,x/2) s'écrit (y,y).

[A voir en vidéo sur Futura]