Tenseur de Riemann

[Antoniuum]

Bonjour à tous !

Voilà en étudiant calcul tensoriel et géométrie différentielle, j'en suis venu à voir dans un premier temps comment varie les vecteurs d'un repère naturel dans un espace ponctuel, c'est à dire les différentiels des vecteurs de base, ce qui m'a amenait aux symboles de Christoffel (coefficients de connexion affine ). Ensuite j'ai pu voir comment les exprimer en fonction du tenseur métrique, et finalement j'en suis venu au fameux tenseur de Riemann-Christoffel en regardant la différence des dérivées covariantes secondes d'un vecteur quelconque...

Bon voilà pour la petite histoire mais mon problème c'est surtout au niveau de la "forme" de l'écriture ! En effet, avec la calcul tensoriel, la notation indicielle est au premier plan et ainsi quand je regarde tout les calculs qui nous amènent à ces fameux tenseurs et même leur expression, je me suis dit : Avez vous des moyens mnémotechniques ou comment faite vous si vous avez envi dans un calcul de faire apparaitre un tenseur du type Riemann, car avec tout ces indices, c'est l'enfer !

Parce que vu que le tenseur de Riemann fait appel aux symboles de Chrostiffel qui font eux même appel aux tenseurs métriques et en plus on a des dérivées partielles... Je vois leur utilité mais même ressortir la formule de la dérivée covariante secondes, c'est déjà assez long au niveau des indices pour s'en rappeler...

Bref, je sais pas si c'est un faux problème, mais voilà !
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[invite02232301]

Bonjour,
En vrai tu n'as pas besoin de retenir tout cela. Et je te déconseille aussi l’écriture avec indices, qui a mon sens est inutile, si tu as bien compris dans quoi vivaient les objets, et qui incite en général à de mauvais reflexes.
Par exemple, si D est la connexion, tu as deux définitions possibles pour le tenseur de Riemann, D², ou alors le tenseur donné par F(X,Y)=[D_X, D_Y]-D_[X,Y], dont on vérifie aisément que c'est une 2-forme à coefficients dans End(TX).
Essaie de verifier que ces deux définitions coincident. Si tu raisonne en terme d’indices, de calculs de symbole de Christoffel etc... a mon avis you're gonna have a bad time

[Antoniuum]

Bonjour MiPaMa,

Merci pour votre réponse, cependant auriez vous un cours (en pdf si possible !) sur géomtrie différentielle/Calcul tensoriel en utilisant les notions propres à la géométrie différentielle ?
Parce que j'ai regardé le cours sur sciences.ch mais dans le chapitre de calcul tensoriel, il n'y a usage que de la notation indicielle qui je suis d'accord, si pour des calculs assez léger, elle est très puissante lorsqu'on a affaire à des grosses expressions, c'est vite lourd...

[invite02232301]

Un exellent cours de géométrie differentielle, que je recommande est celui de Sharpe, Differential Geometry.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02232301]

Je viens de jeter un oeil au cours que tu dis suivre. Personnellement j'en suis pas fan du tout.

[Médiat]

Bonjour Miss

Je viens de jeter un oeil au cours que tu dis suivre. Personnellement j'en suis pas fan du tout.

Il m'est arrivé de jeter un œil sur ce document, dans mes domaines de prédilection (logique, théorie des ensembles) il est loin d'être irréprochable, je ne suis pas fan du tout et même je déconseille.

[Antoniuum]

Oui, moi je le lis quelques fois car l'avantage tout de même c'est qu'il aborde tout les domaines, donc pour avoir une idée "globale" de la chose c'est pas mal mais c'est vrai que généralement c'est pas détaillé au maximum.

Mipama, j'ai regardé le livre que vous m'avez conseillé, je pense que j'essayerai de me le procurer mais pour l'instant avez des cours pdf sur ce sujet ? Même question pour Médiat !

[invite02232301]

On peut facilement trouver le bouquin en question au format numérique, en djvu, sur le net.

[Médiat]

Même question pour Médiat !

Sur la géométrie différentielle (entre autres), la règle est simple : faire confiance à MiPaMa (et moi, je n'y connais rien )

[Amanuensis]

Une liste dans la "vieille biblio" du forum physique: http://forums.futura-sciences.com/ph...tml#post760000.

Post assez ancien, peut-être des liens qui n'existent plus.

[invite02232301]

Au passage, je me permet un conseil. En general ceux qui apprennent la géométrie differentielle (surtout par la voie physique/RG), font l'erreur de confondre algèbre tensorielle, et geométrie differentielle. Parce qu'ils voient tout ca d'un bloc, qu'on pourrait résumer en "calcul tensoriel sur les variétés".
Or il y a vraiment deux choses, tres differentes la dedans. Une notion algébrique, celle de produit tensoriel et d'algèbre tensorielle, qui est du ressort essentiellement de l'algèbre (multi)-linéaire, et qui est simplement un outil tres simple d'algèbre (qu'uon pourrait grosso-modo caractériser comme "comment définir une mutliplication formelle, entre elements d'a peu pres n'importe quoi). Cette partie là est algébrique, et peut se traiter seule, et assez rapidement, il existe de bon traités de cette notion trouvable online (ou en BU).
Je pense qu'il est important conceptuellement de traiter cette partie "à part", ne serait ce que parce qu'elle est utile dans bien d'autres domaines que la geometrie differentielle.

Ensuite il y a la partie geometrie differentielle a proprement parler, qui consiste pour beaucoup à globaliser des resultats d'algèbre linéaire (bon c'est dit grossèrement, mais la géométrie differentielle peut souvent s'interpreter comme l'etude d'espaces vectoriels variant avec des paramètres), et dans ce cadre là on a besoin de maitriser les notions d'algèbre linéaire, y compris le calcul tensoriel (d'ou l'interet de l'avoir compris avant).

[Antoniuum]

Merci pour votre conseil Mipama, oui en effet c'était dans le cadre de comprendre la RG ! J'ai réussi à trouver le livre en question, je m'y colle tout à l'heure, une dernière question, auriez vous donc un cours (celui que vous avez préférez je vous fais confiance ) sur l'algébre tensorielle, car si ça peut se traiter seul et assez rapidement alors je le lirai avant de commencer le livre de Sharpe !

Merci aussi Amanuensis pour le lien

[invite02232301]

Tu peux regarder dans le bouquin de Lang, algebra, mais c'est peut etre un peu trop dur en première lecture.
Tu peux regarder sinon dans le bouquin de Douady, algèbre et theorie galoisiennes (il y a une section consacrée à ca et auto suffisante).
Sinon tu peux aussi regarder dans les contributions des forumers ici, il y a un petit cours d'algèbre tensorielle, evidemment de fort moins bonne qualité que les deux precedents.

[Amanuensis]

Pour rajouter aux conseils, en me basant sur mon expérience personnelle d'autodidacte dans cette branche des maths, passer du temps sur la dérivée extérieure (et l'algèbre extérieure, celle-ci notion purement algébrique), car cela a énormément d'applications en physique. De fait, beaucoup de concepts appris en physique sans cet outil sont ainsi "fédérés", genre produit vectoriel, équations de Maxwell, notion de conservation, notions de divergence et rotationnel, théorème de Stokes, et j'en passe.

Les groupes de Lie sont aussi importants à connaître dès le début.

[Universus]

Bonjour à tous,

Je ne peux nier que tous les conseils de MiPaMa sont excellents. Personnellement, j'adore le livre de Sharpe et j'ai beaucoup appris grâce à lui. Ceci dit, si je dois me fier sur divers parallèles entre le chemin suivi par Antoniuum et mon propre parcours, si j'évalue bien son niveau, je déconseille fortement le livre de Sharpe à ce moment-ci, à tout le moins comme référence principale. Il est pertinent de savoir que ce livre résulte de notes personnelles que Sharpe a élaborées dans ses temps libres parce qu'étant un topologue de formation qui ne comprenait pas suffisamment intuitivement la géométrie différentielle : les notions primaires ne sont ainsi pas toutes présentées, parfois elles le sont après avoir déjà été utilisées et le livre est volontairement inusité dans son approche et dans son contenu. Dans tous les cas, il est clair que Sharpe a écrit ce qu'il réussissait à comprendre et non pas ce qu'il comprenait déjà.

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Le premier chapitre du livre de Sharpe est un condensé pas si élémentaire de théorie des variétés (différentiables) et de topologie différentielle. Sans une bonne maîtrise des bases de ces notions, ce chapitre est très difficile à traverser. Personnellement, je me rappelle d'avoir une myriade de fois lu et relu le bref passage sur les fibrés principaux, dont un vrai traitement ne vient que plusieurs chapitres plus loin. La fin du chapitre traite des algèbres extérieures... à valeurs dans toutes sortes d'entités algébriques. J'ai appris ces sujets en tentant de décoder les maigres calculs qui y étaient effectués et dont la logique n'était pas exposée (après coup, elle est simple, mais il faut encore avoir une bonne notion de ce qui distingue les réels d'un corps, d'un anneau, d'une algèbre de Lie, etc.)

Le second chapitre est un charme. On y traite des distributions de k-plans, y traite de la notion d'involutivité, y démontre le merveilleux théorème d'intégrabilité de Frobenius (qui, une fois jumelé à la notion très générale (trop générale selon Chern, voir la préface de Sharpe) de connexion d'Ehresmann, donne la meilleure intuition qui soit sur ce qu'est la courbure) et aborde en conséquence la notion de feuilletage (large généralisation de celle de connexion). Ne serait-ce que pour ce chapitre, qui a grandement modelé ma pensée d'apprenti géomètre différentiel, ce livre est incontournable.

Le troisième chapitre aborde les notions d'action lisses sur une variété différentiable (ce qui importe pour bien comprendre l'histoire de fibrés principaux du premier chapitre). La correspondance entre algèbres de Lie et groupes de Lie y est exposée de manière assez concise, ce qui a l'avantage d'éviter d'inutiles encombrements dans la logique sous-jacente à la correspondance, mais a le désavantage de mettre de côté bien des liens (difficiles) entre les deux concepts aidant à mieux les comprendre. Certaines des équations de ce chapitre, sans être monstrueuses par un usage intensif des indices, sont tout de même passablement impressionnantes et, de prime abord, très difficiles à décoder (surtout quand il y a des erreurs typographiques...).

Le quatrième chapitre aborde le programme de Klein. C'est un chapitre très intéressant, mais un peu étrange... Le cinquième (et long) chapitre aborde le « programme de Cartan » de généralisation du programme de Klein afin de généraliser, en même temps, la géométrie riemannienne. C'est donc très vaste, très abstrait. Ehresmann, qui fut étudiant de Cartan, a contribué grandement à aller chercher les grandes idées qu'a eues Cartan pour les mettre en lumière. Il faut voir quel travail de débroussaillage ce fut... l'approche de Cartan se veut à la fois très générale, mais pas trop générale, de sorte qu'une géométrie de Cartan admet une définition assez longue et technique afin d'avoir précisément la bonne dose de généralité.

Les chapitres subséquents abordent des cas particuliers de géométries de Cartan, dont la géométrie riemannienne. Si c'est cette dernière qui vous intéresse surtout, le livre de Sharpe n'est donc pas la voie la plus évidente...

Une approche si détournée que celle de Sharpe a ses avantages, mais d'autres livres le font tout en ayant des exposés davantage similaires en forme, en notation, en concept avec la majeure partie des géomètres et des physiciens.

Ainsi, pour la théorie des variétés et les bases de la topologie différentielle, malgré qu'il s'agisse d'un pavé (qui se lit cependant remarquablement bien), je conseillerai toujours le livre de John M. Lee Introduction to Smooth Manifolds (le livre en français de Jacques Lafontaine semble bien aussi, bien que je ne l'aie jamais lu). Une fois celui-ci lu, pour une introduction très rapide à la géométrie riemannienne qui utilise à l'occasion la notation indicielle lorsqu'elle est avantageuse et qui utilise autrement une notation 'conceptuelle', je conseille un autre livre de Lee (ce livre devrait développer suffisamment d'aisance avec le sujet pour lire ensuite le livre de Gallot-Hulin-Lafontaine, qui est plus volumineux et spécialisé).

Pour une approche plus générale abordant les mêmes idées que celles abordées par Sharpe, mais de manière plus élémentaire, je recommande le livre Curvature in Mathematics and Physics par Shlomo Sternberg. Ce livre, autrement que d'être très abordable, motive une bonne partie de la géométrie différentielle de haute-voltige à partir de ce qui est faisable dans le cas classique de la géométrie différentielle des surfaces. Comme son nom l'indique, le livre fait plusieurs liens avec la physique, en particulier la RG, mais aussi les théories de jauge (là où la généralité offerte par des traités comme ceux de Sharpe devient intéressante pour le physicien). Dans un style tout aussi peu prétentieux, le livre Gauge Fields, Knots and Gravity par John C. Baez est remarquable, moins élémentaire que le précédent, mais pas moins que celui de Sharpe.

Une référence mur-à-mur (sans s'étaler sur plusieurs volumes) est peut-être le livre Riemannian Geometry and Geometrical Analysis par Jost, surtout le chapitre 4 dans le cas présent. Le livre de Jost est une merveille explicative... lorsqu'on comprend déjà le sujet. Il comble des lacunes du premier chapitre de Sharpe sur les algèbres extérieures à valeurs dans « truc algébrique préféré » sur l'aspect de comment utiliser ces choses, mais sonne plus péremptoire en ne disant pas pourquoi utiliser ces choses de cette manière (au moins, Sharpe laisse le soin de trouver, par des exercices dirigés, la réponse à ce pourquoi). C'est sans parler qu'à la sixième édition (celle que je possède), il y a des erreurs typographiques à la pelle... Je parle du livre de Jost parce qu'il est souvent cité et mentionné, mais personnellement, comme introduction, je le déconseille au plus haut point.

Pour de merveilleux résumés de la théorie des connexions, je vous suggère soit une partie du chapitre 6 (de la seconde édition) du livre Introduction to Symplectic Topology de McDuff et Salamon. En français, dans le texte collectif édité par Audin et Lafontaine Holomorphic curves in Symplectic Geometry , le premier tiers du chapitre rédigé par P.Gauduchon est génial (le deuxième tiers du chapitre spécifie la théorie des connexions aux fibrés complexes, donnant lieu à la théorie de Chern-Weil, puis le dernier tiers poursuit sur les grands théorèmes classiques de géométrie complexe). Étant des résumés, il est probable qu'il n'y ait pas assez d'explications pour vous permettre de vous faire une bonne idée du domaine au-delà des définitions ; ceci dit, il n'y a pas de façon plus claire de voir comment la théorie est exprimable sans notation indicielle.

Un dernier mot : le livre General Relativity par Wald utilise la « notation indicielle abstraite » qui est encore plus lourde que la notation indicielle usuelle, mais qui fut développée pour faire le pont avec la « notation conceptuelle » des géomètres utilisée dans les livres ci-dessus. En ce sens, le livre est véritablement un peu entre la notation la plus répandue chez les physiciens et celle la plus répandue chez les mathématiciens.

[invite02232301]

Il est vrai que j'ai lu beaucoup de choses à droite et à gauche, et qu'en general on retient de ce processus, le dernier bouquin qu'on a lu, une fois qu'on avait bien debrousaillé, et qui presente les choses de la manière (supposément) la plus élégante, et qu'on aurait sans doute pas compris en premiere lecture. Du coup je ne retiens que le bouquin de Sharpe, qui m'a veritablement beaucoup plu.
Mais il est bien clair que fouiner sur plusieurs references jusqu'a trouver celle qui nous convient (au moins par morceaux) est ce qu'il faut faire, et j'encourage grandement l'OP a jeter un oeil sur les jolies references données par Universus.

[Antoniuum]

Eh bien, y'a de quoi lire là !
Merci beaucoup pour ton message Universus, toutes ces références vont m'être utile, ce que je vais faire je pense, c'est déjà finir (vu que j'en suis à la fin) le chapitre de calcul tensoriel sur le site déjà évoqué puis je vais revenir à quelque chose de plus formel côté mathématiques, une introduction à la Topologie j'ai trouvé un cours de licence qui m'a l'air bien, puis ensuite en considérant ces bases en topologie, algèbre linéaire et j'ai regardé aussi les géométries non euclidiennes avec coordonnées de gauss et autres... quel premier livre me conseillez vous ? En considérant que d'une manière mathématiques je ne m'y connais pas dans les définitions de fibrés, variétés ou autres réellement, donc un livre qui commence par présenter d'une manière ou d'une autre ces principes là

Merci à vous deux

[Universus]

Les deux références les plus élémentaires parmi celles mentionnées dans mon précédent message sont les livres de Lee Introduction to Smooth Manifold, qui enseigne quels sont les objets de base de la géométrie différentielle moderne et comment travailler avec ceux-ci, et de Sternberg, qui passe moins de temps sur les objets et les tenseurs pour discuter plus rapidement de géométrie (en construisant beaucoup avec le cas plus familier des surfaces dans l'espace tridimensionnel). Le livre de Lee est plus complet et prend davantage par la main, avec un annexe fort utile, mais celui de Sternberg a un style bien à lui qui a quelque chose de moins formel. Le premier ne fait pas de géométrie riemannienne (il faut regarder un autre livre de Lee pour ça, qui nécessite une bonne connaissance des tenseurs cependant).

Un livre plus formel que Sternberg, plus concis que Lee et moins bavard que les deux est le livre Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry par Singer et Thorpe. Dans sa forme, ce livre est plus près de tous les traités d'analyse que j'ai jamais lus, une succession de définitions, de lemmes, de théorèmes, etc. À peut-être quelques exceptions près, tout ce qui est dit dans ce livre est démontré, ce qui est bien, mais ceci donne aussi lieu à bien peu de discussion autour des résultats qui pourraient donner une vision d'ensemble. La vision d'ensemble vient (de soi, évidemment, mais aussi) de la succession des sujets choisis : deux chapitres de topologie générale, un sur le groupe fondamental, un ou deux sur l'homologie et la cohomologie, un sur les variétés topologiques et différentielles, un chapitre sur la géométrie riemannienne, un autre sous les sous-variétés de variétés (donc, une généralisation de la géométrie différentielle classique). La volonté du livre est de montrer les liens profonds existant entre des domaines qui sont souvent enseignés séparément (d'où le tableau visible en première de couverture). J'ai personnellement aimé ce livre, mais je suis plus du genre à lire de long en large un sujet plutôt que de me contenter d'un ou deux chapitres. Ceci dit, c'est peut-être la voie la plus rapide pour se faire une bonne idée du paysage de la topologie/géométrie.

[Antoniuum]

Je viens de voir le livre de Singer et Thorpe, génial ! Il ne suppose pas énormément de pré-requis, définissant même au début le concept d'ensemble en mathématiques ! Il touche effectivement à pas mal de choses, je pense que je vais m'orienter en premier lieu vers celui-ci.

Merci pour les conseils

[Universus]

Tant mieux si la première impression est bonne Je mentionne tout de même que ce livre est plus élémentaire que celui de Lee ou de Sternberg, il ne les remplace donc pas, mais c'est un bon point de départ.

[kalish]

dsl messageà effacer question inutile.