Besoin de tiers exclu ou pas

[magnolia86]

Dans un exercice de base, voici deux assertions

*

**

A-t-on besoin du principe du tiers exclu pour démontrer une assertion en partant de l'autre ?
Est-ce que ces deux assertions sont équivalentes avec tiers exclu ? sans tiers exclu ?

Il me semble que ces deux assertions sont assez facilement mis en équivalence sans tiers exclu :

De *, en posant je déduis les implications , donc ** est prouvée

Réciproquement de **, je déduis , donc * est prouvée.

Etes-vous d'accord ?
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[CM63]

Encore un qui ne dit pas bonjour et qui ne se présente pas, je sens que je vais les compter , c'est pourtant pas compliqué d'interdire tout post à tout nouvel inscrit qui n'a pas posté dans la rubrique présentation, ça doit être élémentaire dans Vbulletin.

[alebot]

Bonsoir,

Il me semble qu'il est utile de mieux formaliser la raisonnement.

La première implication *** repose sur un raisonnement par l'absurde. Supposons que . L'application de * en substituant à r donne et donc en vertu de l'hypothèse. Ceci qui est faux. Donc . On a bien démontré que ***.

Je ne vois en effet pas d'application du principe du tiers exclus. Sans doute dans la réciproque.

Bon courage

[magnolia86]

Merci pour votre réponse. Pour la réciproque, je ne vois pas où on utilise le tiers exclu non plus. Mais on m'a dit que ces deux assertions n'étaient pas équivalentes sans tiers exclu, donc je ne comprends pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour (Rappel : la politesse n'est pas optionnelle sur ce site !)

Si vous voulez être sûre de savoir quelles règles vous utilisez dans un raisonnement, la meilleure (la seule ?) méthode consiste à écrire votre raisonnement formellement ; je suppose que vous avez dû voir une telle méthode (Déduction naturelle, séquents, Hilbert, ...).

[Matmat]

Bonjour,

La première implication repose sur un raisonnement par l'absurde.

Je ne vois en effet pas d'application du principe du tiers exclus.

Sur quoi repose le raisonnement par l'absurde pour vous ?

[Médiat]

Bonjour Matmat,

Attention, le raisonnement par l'absurde peut se présenter sous deux formes différentes et (stricto sensu seul le deuxième cas s'appelle reductio ad absurdum) le premier cas n'a pas besoin de tiers exclu.

[magnolia86]

Bonjour
Je pensais que les implications écrites à mon premier message étaient une écriture formelle. Pour * => **, je dirais que c'est simplement la substitution r en qui donne simplifiée en , qui est la définition de . Pour ** => *, je dirais qu'on utilise la transitivité de l'implication avec et qui donne simplifiée en , donc
Êtes-vous d'accord ?

[Matmat]

Oui Médiat , je suis d'accord que la première implication n'est pas un raisonnement par l'absurde . C'était le but de ma remarque d'ailleurs .

[leon1789]

message annulé

[magnolia86]

Pour * => **, je dirais que c'est simplement la substitution r en qui donne simplifiée en , qui est la définition de .

Pour ** => *, je dirais qu'on utilise la transitivité de l'implication avec et qui donne simplifiée en , donc

Puis-je conclure que * => ** n'est pour l'essentiel qu'une substitution et
** => * une application de la transitivité de l'implication , sans utilisation le tiers exclu ?
merci pour vos réponses