Petit jeu du 15 août

[Médiat]

Bonjour,

J'ai posté il y a quelque temps un "petit jeu de l'été" sans doute trop complexe, aussi je le repose ici sous une forme plus simple et plus technique.

Soit où est une opération binaire ; on interprète dans par : .

On dit qu'une formule définit un élément de si il existe un et un seul élément de qui vérifie .

Question : montrer que l'on peut définir tous les nombres entiers de 0 à 10

(Merci de donner vos réponses sous spoiler)

NB : représente des paramètres, par exemple des élément précédemment définis.
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[arttle]

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre ce que l'on cherche à faire exactement.

L'ensemble engendré par et la règle s'interprète dans comme un ensemble de polynômes dont le coefficient constant vaut . Sous ses hypothèses on voit bien qu'on peut définir par par exemple mais pas les autres nombres naturels, car vérifie toute formule s'écrivant avec uniquement avec les symboles .

Ma question est donc, est-ce que l'on a droit à d'autres symboles pour les formules? par exemple ou d'autres? Peut-on utiliser les quantificateurs?

[0577]

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

définit 0

définit 1

définit 2

définit 4

définit 5

définit 8

définit 25

définit 3

définit 9

définit 10

définit 100

définit 6

définit 65

définit 7

[Médiat]

Bonjour,

L'ensemble engendré par

C'est quoi 0 ?

on voit bien qu'on peut définir par par exemple mais pas les autres nombres naturels, car vérifie toute formule s'écrivant avec uniquement avec les symboles .

Oui, maintenant, je sais ce qu'est 0.

Ma question est donc, est-ce que l'on a droit à d'autres symboles pour les formules? par exemple ou d'autres? Peut-on utiliser les quantificateurs?

Tous le vocabulaire de la logique classique est autorisé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

...

J'étais passé par 50 au lieu de 65, pour le 7, mais c'est pareil, bien sûr.

En fait on peut démontrer que l'addition et la multiplication sont définissables avec cette opération, mais c'est un peu plus compliqué.

[arttle]

Bravo Médiat pour ce petit jeu

Je viens de trouver moi aussi la solution, je ne la poste pas car elle est sensiblement égale à celle de 0577.

[0577]

En fait on peut démontrer que l'addition et la multiplication sont définissables avec cette opération, mais c'est un peu plus compliqué.

Une indication sur comment faire ?

[Médiat]

Juste une indication : en passant par (x² + y²)² et (x² - y²)² on peut calculer 4x²y² puis x²y² ce qui permet de définir la multiplication.


(*) le passage un peu compliqué c'est de passer de x à 2x ; si le sujet vous intéresse je pourrais vous donner un lien.

[Médiat]

Bonjour,

Pour d'autres joueurs que 0577 et arttle : même question si l'opération s'interprète comme :

[leon1789]

Je propose

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défini 0
défini 1
donne 2
donne 3
donne 4
donne 6
donne 8
donne 9
défini 5
défini 7

[leon1789]

J'ai oublié d'obtenir 10 :

 Cliquez pour afficher

[Médiat]

Excellente réponse.

Un essai avec

Je n'ai pas la garantie que cela marche pour